В ряд выложены 2013 черных и 2013 красных шаров, причём самый левый и самый правый шары чёрные. Всегда ли можно выбрать

Нет, не всегда. Самый простой способ доказать это - выбрать два подряд стоящих шара красного цвета. Так как по условию задачи количество шаров черного и красного цвета одинаковое, а начинается и завершается ряд черными шарами, то из этого следует, что в представленном ряду, по крайней мере, один раз шары красного цвета будут стоять рядом.