Существует ли число, которое при делении на все натуральные числа, кроме числа 1, даёт в остатке число 1?

Да, такое число существует. Это само число 1. При делении 1 на 1 получаем в ответ 1 и 0 в остатке. При делении 1 на 2 получаем в ответ 0 и 1 в остатке. При делении 1 на 3 получаем 0 и 1 в остатке. И так далее. При делении с остатком числа 1 на любое натуральное число, кроме числа 1, получим в ответ 0 и 1 в остатке.