Решите неравенство: 2^x+3*2^-x<=4

Неравенство, где переменная находится в положении степени, называется показательным.

• Нужно заменить число в степени другой переменной,
• Решить получившееся неравенство, определить промежутки, удовлетворяющие неравенству,
• Вернуться к замене переменной и решить новое (или несколько новых) неравенств.

Действия с числами в степени

х^m+n = x^m * xⁿ

(x^m)ⁿ = (x^m)ⁿ

x^-n = 1/xⁿ

х⁰ = 1

Преобразуем неравенство

 2^x + 3 * 2^-x <= 4

2^x + 3 / 2^x <= 4

Произведем замену 2^x = а.

Получается неравенство вида а + 3/а <= 4.

Перенесем число 4 в левую часть неравенства.

а + 3/а - 4 <= 0

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю.

(а² + 3 - 4а)/а <= 0

(а² - 4а + 3)/а <= 0

Дробь меньше или равна нулю, когда и числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Получается две системы неравенств

1. Первая система.

а² - 4а + 3 >= 0

а < 0 (здесь строгое неравенство, потому что это знаменатель, делить на ноль нельзя)

Решаем перво неравенство.

у = а² - 4а + 3 Квадратичная функция, ветви вверх.

Находим нули функции (у = 0).

а² - 4а + 3 = 0

D = 16 - 12 = 4 (кв.корень равен 2)

а₁ = (4 + 2)/2 = 3

а₂ = (4 - 2)/2 = 1

Решением этого неравенства будут промежутки (- бесконечность; 1] и [3; + бесконечность).

Объединяем с неравенством а < 0.

Решением системы будет промежуток (- бесконечности; 0), то есть а < 0.

2. Вторая система.

а² - 4а + 3 <= 0

а > 0

Корни первого неравенства 3 и 1 (см. выше).

Решением этого неравенства будет промежуток [1; 3].

Объединяем с неравенством а > 0, решением системы будет промежуток [1; 3].

То есть а >= 1 и а <= 3.

Возвращаемся к замене 2^x = а.

Решаем три неравенства, которые получились.

1) а < 0

2^x < 0 Такого не может быть.

2) а >= 1

2^x >= 1

2^х >= 2⁰

х >= 0

3) а <= 3

2^x <= 3

x <= log₂3

Ответ: х >= 0, x <= log₂3

2 ^ x + 3 * 2 ^ (- x ) < = 4;Умножим правую и левую часть выражения на 2 ^ x и получим:2 ^ x * 2 ^ x + 3 * 2 ^ (- x ) * 2 ^ x < = 4 * 2 ^ x;(2 ^ x) ^ 2 + 3 * 1 < = 4 * 2 ^ x;(2 ^ x) ^ 2 - 4 * 2 ^ x + 3 < = 0;Пусть 2 ^ x = a, получим:a ^ 2 - 4 * a + 3 < = 0;Приравняем неравенство к 0 и найдем корни квадратного уравнения через дискриминант.a ^ 2 - 4 * a + 3 = 0;D = b ^ 2 - 4 * a * c = (- 4) ^ 2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4;a1 = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3;a2 = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1;Тогда:1) 2 ^ x = 3;x = log2 3;2) 2 ^ x = 2;x = 1;Отсюда, 1 < = x < = log2 3.