Рассмотрим угловой сектор на плоскости с вершиной в начале координат и углом 30 градусов. Положим на одну из сторон угла

   Для решения задачи будем пользоваться следующими фактами:

• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Две прямые имеют только одну точку пересечения.
• Угол падения равен углу отражения.

   По условию задачи шарик бьется о стенки сектора шириной в 30°. Каждый раз, когда он ударится о какую-либо сторону сектора, траектория полета шарика со сторонами сектора будет образовывать треугольник. Если шарик не будет образовывать такие треугольники, это будет означать, что он улетел на бесконечность.

   По условию угол между стенками сектора равен 30° и первый угол, который образовывает траектория полета шарика, равен 110°. Сумма этих двух углов равна 110 + 30 = 140°. Эта суммы меньше  180°, следовательно, шарик ударится о противоположную стенку сектора и образует треугольник. Тогда угол, под которым упадет шарик к стенке сектора равен:

180 - 140 = 40°

   Угол падения шарика равен углу отражения, значит угол отражения тоже равен 40°. 

   Найдем углы треугольника, который образуется первым отскоком шарика. Первый угол рассчитаем из суммы смежных угол к одной из сторон сектора и первой траекторией полета шарика. Он будет равен:

180 - 110 = 70°

   Второй угол треугольника рассчитаем из суммы смежных углов ко второй из сторон сектора и углов падения и отражения шарика. Он будет равен:

180 - 40 - 40 = 100° 

   Тогда третий угол треугольника (угол падения к стороне сектора) равен:

180 - 70 - 100 = 10°

   Следовательно, шарик ударится второй раз о стенку сектора.

   Найдем углы треугольника, который образуется вторым отскоком шарика. Первый угол рассчитаем из суммы смежных угол к одной из сторон сектора и вторым углом падения и отражения. Он будет равен:

180 - 10 - 10 = 160°

   Второй угол треугольника равен первому углу отражения 40°. Сумма найденных углов равна:

160 + 40 = 200°

   Полученная сумма больше 180°, следовательно, после второго отскока шарик улетит на бесконечность, так как получить третий угол треугольника невозможно.

   Ответ: два удара.