Найдите сумму всех натуральных чисел кратных 3 и не превосходящих 100

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, которые не превосходят 100 и кратны 3 мы должны найти сумму арифметической прогрессии.

Вспомним определение арифметической прогрессии

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией.

a_n+1 = a_n + d ,  n є N

Число d называют разностью арифметической прогрессии

d =  a_n+1 - a_n

Решать задачу будем используя алгоритм:

• найдем разность арифметической прогрессии;
• найдем n - й член прогрессии;
• вычислим количество членов арифметической прогрессии;
• найдем сумму прогрессии.

Решаем используя алгоритм

Первый член арифметической прогрессии 3. Чтобы каждое последующее число арифметической прогрессии делилось на 3 к нему нужно прибавлять число 3.

3, 6, 9, 12, 15 .... 99 — сумму этой прогрессии мы будем искать.

d = 3 — разность арифметической прогрессии.

Первый член арифметической прогрессии:

a₁ = 3;

n - й член прогрессии a_n = 99, согласно условия, это последнее число делящееся на 3 и меньше 100.

Теперь мы найдем количество членов арифметической прогрессии используя формулу n - го члена:

a_n = a₁ + d * (n - 1);

Выразим из равенства n:

(n - 1) = (a_n - a₁)/d;

n = (a_n - a₁)/d + 1;

Подставляем все значения и находим число членов прогрессии:

n = (a_n - a₁)/d + 1 = (99 - 3)/3 + 1 = 96/3 + 1 = 32 + 1 = 33.

Вспомним формулу для нахождения суммы арифметической прогрессии.

S_n = (a₁ + a_n)/2 * n = (3 + 99)/2 * 33 = 102/2 * 33 = 51 * 33 = 1683.

Ответ: сумма всех чисел кратных 3 и не превосходящих 100 равна 1683.

Наименьшее число, кратное 3 - 3, затем 6, затем 9 и т.д. а наибольшее - 99,Данная последовательность чисел является арифметической прогрессией с первым членом = 3, разностью = 3, а число 99 является 33 членом этой прогрессии (99 / 3 = 33)Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:S = (A1 + An) * n / 2S = (3 + 99) * 33 / 2 = 1683