Найдите значение выражения 2(a⁴+ b⁴+c⁴)​, если известно, что числа a, b, c удовлетворяют системе из трех уравнений: a

Нам нужно найти значение выражения 2(a^4 + b^4 + c^4), если известно, что числа a, b, c удовлетворяют системе из трех уравнений:

a + b + c = 4;

a^2 + b^2 + c^2 = 9;

a^3 + b^3 + c^3 = 19.

Для того, чтобы найти значение выражения проведем несколько тождественных преобразований.

Составим алгоритм решения

• возведем в квадрат первое уравнение и выразим сумму произведений переменных;
• найдем произведения заданных уравнений;
• вычтем из первого уравнения (полученного в результате произведения) второе и найдем значение произведения переменных;
• возведем в квадрат найденное в первом пункте равенство;
• возведем в квадрат второе уравнение системы;
• найдем значение 2(a^4 + b^4 + c^4).

Находим значение выражения 2(a^4 + b^4 + c^4)

Согласно алгоритму, возведем в квадрат первое уравнение системы, получим:

(a + b + c)^2 = 16;

a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + ac + bc) = 16;

Подставляем заданное значение выражения a^2 + b^2 + c^2 = 9 в полученное равенство и получим:

9 + 2 (ab + ac + bc) = 16;

ab + ac + bc = (16 - 9)/2;

ab + ac + bc = 7/2.

Найдем произведения выражений, значения которых известны:

(a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2) = (a^3 + b^3 + c^3) + ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a);

(a + b + c) (a b + b c + c a) = ab(a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + 3abc;

Найдем разность полученных уравнений:

(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3 abc.

Подставляем известные значения выражений и получаем:

4(9 - 7/2) = 19 - 3abc;

36 - 14 - 19 = - 3 abc;

abc = - 1;

Возводим в квадрат полученное после преобразований равенство:

ab + ac + bc = 7/2;

(ab + ac + bc)^2 = 49/4.

Для этого будем использовать формулу возведения в квадрат трехчлена:

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.

Получим,

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2a^2bc + 2c^2ab + 2b^2ac = 49/4;

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c) = 49/4;

Подставим известные нам значения в полученное выражение и получаем:

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - 8 = 49/4;

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 = 81/4.

Далее возведем вторе равенство в квадрат:

(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 81;

a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) = 81;

a^4 + b^4 + c^4 + 2 * 81/4 = 81;

a^4 + b^4 + c^4 = 81/2;

2(а^4 + b^4 + c^4) = 81;

 Ответ: 2(а^4 + b^4 + c^4) = 81.

Решение:Возведем в квадрат первое из трех уравнение:( a + b + c )^2 = 16;a^2 + b^2 + c^2 + 2 ( a b + a c + b c ) = 16;Подставляем a^2 + b^2 + c^2 = 9 в получившееся уравнение:9 + 2 ( a b + a c + b c ) = 16;a b + a c + b c = ( 16 - 9 ) / 2;a b + a c + b c = 7 / 2;Рассмотрим вспомогательные выражения:( a + b + c ) ( a^2 + b^2 + c^2 ) = ( a^3 + b^3 + c^3) + a b ( a + b ) + b c( b + c ) + c a ( c + a );( a + b + c ) ( a b + b c + c a ) = a b ( a + b ) + b c ( b + c ) + c a ( c + a ) + 3 a b c;Вычтем из первого уравнения второе:( a + b + c )( a^2 + b^2 + c^2 − a b − b c − c a ) = a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c;Подставим имеющиеся значения уравнений:4 ( 9 - 7 / 2 ) = 19 - 3 a b c;36 - 14 - 19 = - 3 a b c;a b c = - 1;Возведем уравнение a b + a c + b c = 7 / 2 в квадрат:( a b + a c + b c )^2 = 49 / 4;По формуле возведение в квадрат трехчлена ( a + b + c )^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c, поэтому:a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 + 2 a^2 b c+2 c^2 a b + 2 b^2 a c = 49 / 4;a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 + 2 a b c ( a + b + c ) = 49 / 4;Подставим найденные значения abc и a + b + c:a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 - 8 = 49 / 4;a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 = 81 / 4;Возведем уравнение a^2 + b^2 + c^2 = 9 в квадрат:( a^2 + b^2 + c^2 )^2 = 81;a^4 + b^4 + c^4 + 2( a^2 b^2 + b^2 c^2 + a^2 c^2 ) = 81;Подставляем найденное значение a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2:a^4 + b^4 + c^4 + 2 * 81 / 4 = 81;a^4 + b^4 + c^4 = 81 / 2;2 ( A^4 + b^4 + c^4 ) = 81;Ответ: 2 ( A^4 + b^4 + c^4 ) = 81.