Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=24

Найдите боковую сторону ab трапеции abcd, если углы abc и bcd равны соответственно 60° и 135°, а cd=24.

Постройте график трапеции

Трапеция имеет неординарный вид, из условия получаем произвольную трапецию abcd:

http://bit.ly/2zJATZU

Рассмотрите углы bcd и adc – углы при боковой стороне трапеции, которые в  сумме дают 180 градусов. Из этого следует:

adc = 180° - bcd = 180° - 135° = 45°;

Опустите высоту cm из точки с на прямую ad.

http://bit.ly/2AL8wKY

Сумма углов в любом треугольнике равняется 180°, используя эти данные можем найти угол mcd, отняв от 180° значения углов cmd = 90° и cdm = 45°:

mcd = 180° - 90° - 45° = 45°.

Рассмотрите треугольник cmd

• треугольник cmd прямоугольный;
• катет cd = 24;
• катеты cm = md;

По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) найдите высоту cm:

cd² = md² + cm²;

Так как cm = md, замените md на cm. Получим двойной квадрат cm, который равен квадрату гипотенузы:

• cd² = 2 * cm²;
• cm² = cd² / 2;
• cm² = 576 / 2 = 288;
• cm = √288 = 12√2;

Опустите высоту ah из точки a на прямую bc.

http://bit.ly/2hyv7pj

Основания трапеции параллельны друг другу, по-этому высоты ha и cm равны.

Рассмотрите треугольник abh

• треугольник abh прямоугольный;
• угол abh = 60°;
• катет ah = 12√2;

Синус угла abh равен отношению противолежащего катета ah к гипотенузе ab:

sin (abh) = ah/ab;

Из выражения выделите боковую сторону трапеции ab:

ab = ah / sin (abh);

Высота ah = 12√2, а синус угла abh - sin (60°) = √3/2. Подставьте значения в формулу и сосчитайте ab:

ab = 12√2 / (√3/2) = 24/√6;

Пусть дана трапеция АВСD, имеющая основания АD и ВС. Из условия задачи известно, что углы ABC и BCD равны соответственно равны 60° и 135°, а CD = 24. Из вершины угла BCD к основанию АD проведём высоту СК, получим прямоугольный треугольник СКD, в котором ∠КСD = ∠BCD – ∠BCК = 135° – 90° = 45°. Тогда ∠СDК = 90° – ∠КСD = 90° – 45° = 45°, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Значит, треугольник равнобедренный и катетСК = СD ∙ sin 45° = 24 ∙ 0,5 ∙ √2 = 12 ∙ √2.Из вершины угла BАD к основанию ВС проведём высоту АР = СК, получим прямоугольный треугольник АВР, в котором гипотенузаАВ = АР : sin 60° = (12 ∙ √2) : (√3)/2 = 8 ∙ √6 ≈ 19,6.Ответ: ≈ 19,6 – длина боковой стороны AB.