На сторонах угла с вершиной в точку B отметили точки А и С так,что АВ=ВС. Через точки А и С провели прямые , перпендикулярные

Пусть дан угол с вершиной в точке В, на сторонах которого отметили точки А и С так, что АВ = ВС. Через точки А и С провели прямые, перпендикулярные сторонам ВА и ВС соответственно, которые пересекаются в точке О, то есть ОА⊥АВ; ОС⊥ВС. Получили два прямоугольных треугольника ВАО и ВСО, которые равны по гипотенузе и катету, так как 1) сторона ВО – общая; 2) АВ = ВС – по построению. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы у них равны, то есть ∠АВО = ∠СВО, тогда луч ВО делит угол АВС пополам, а это значит, что луч ВО – биссектриса угла АВС. Что и требовалось доказать.

Имеется угол с вершиной в точке В. На сторонах угла отметили точки А и С так, что АВ = ВС. Из точек А и С провели прямые, которые перпендикулярны соответственно сторонам ВА и ВС. Перпендикулярные прямые пересекаются в точке О. Докажите, что луч ВО — это биссектриса угла АВС.

Если луч биссектриса

Изучите рисунок http://bit.ly/2hB4MHf.

Если луч ВО — биссектриса, то <ABC этим лучом должен быть разделен на две равных части. Это значит, что для решения задачи нужно доказать равенство углов: <CBO = <ABO.   

Доказывать равенство углов чаще всего приходится с помощью равенства или подобия треугольников. Рассмотрите треугольники BCO и BAO.

Докажите равенство треугольников

Треугольники  BCO и BAO — прямоугольные, потому что из точек А и С были проведены именно перпендикулярные прямые.

Равенство прямоугольных треугольников можно установить, если у них равны:

• два катета;
• катет и острый прилежащий угол;
• острый угол и и гипотенуза;
• гипотенуза и катет.

Поскольку сразу бросается в глаза общая гипотенуза ВО, а об острых углах ничего неизвестно, то есть смысл остановиться на последнем критерии.

Итак, гипотенуза ВО общая для двух прямоугольных треугольников. Вспомните, что по условию ВС = ВА, то есть, в дополнение к равенству гипотенуз, катет одного треугольника равен катету другого треугольника. Равенство треугольников BCO и BAO доказано.

Прилежащие к равным катетам ВА и ВС углы должны быть равны, следовательно  <CBO = <ABO.

Вывод: луч ВО делит<АВС на два равных угла и поэтому он является его биссектрисой.