Найдите все простые числа, которые нельзя записать в виде суммы двух составных и докажите что других нет

Для начала вспомним, что такое простые и составные числа.

Определения простых и составных чисел

Простые числа – натуральные числа, которые имеют ровно два делителя: число 1 и самого себя.

Составные числа – все непростые числа, которые имеют больше двух делителей.

Число 1 не является ни простым, ни составным.

Приведем несколько первых простых чисел:

• 2;
• 3;
• 5;
• 7;
• 11;
• 13;
• 17;
• 19;
• 23;
• 29;
• 31;
• 37 и др.

Таким образом, простыми бывают только нечетные числа (кроме числа 2).

Чтобы понять, какие простые числа нельзя записать в виде суммы двух составных чисел, рассмотрим каждое простое число по порядку.

• 2 можно записать в виде 1 + 1, но 1 не является составным.
• 3 можно записать только в виде 2 + 1. 2 – простое число, 1 не является составным числом.
• 5 = 4 + 1 – также нельзя представить в виде суммы составных чисел.
• 7 = 2 + 5; 3 + 4 – 3 является простым числом.
• 11 = 2 + 9; 3 + 8; 4 + 7; 5 + 6.
• 13 = 4 + 9; 6 + 7; 8 + 5; 9 + 4. Итак, число 13 можно записать в виде суммы 2 составных чисел 9 и 4.
• 17 = 9 + 8;
• 19 = 9 + 10;
• 23 = 9 + 14 и т. д.

Далее все простые числа можно записать как сумму 9 и другого составного числа.

Итак, нельзя записать в виде суммы простые числа 2, 3, 7, 9.

Доказательство

Итак, мы выяснили, что простыми могут быть только нечетные числа (кроме 2), а также то, что все простые числа, большие 11, можно расписать как сумму составного числа 9 и другого составного числа.

Простое число является нечетным, 9 – также нечетным. Отсюда следует, что их разность – всегда четное число. Например:

23 - 9 = 14 – четное число.

Любое четное число, кроме единицы и самого себя, имеет как минимум еще один делитель – число 2. Поэтому любое четное число является не простым, а составным.

Поэтому любое просто число, большее 11, можно записать как сумму 9 и четного числа.

Докажем, что любое простое число p, большее 11, представляется в виде суммыдвух составных;Очевидно,что любое простое число, большее двух, нечетно;Тогда представим простое число р в виде p = (p – 9) + 9;p — нечетное, (p – 9) — четное и, значит, составное;Это верно при p > 11, так как при p ≤ 7, (p - 9) < 0, а при p = 11, (p - 9) = 2 - простое число;Мы представили любое простое число > 11 в виде суммы двух составных;А все простые числа, меньшие или равные 11 (2, 3, 5, 7 ,11), нельзя представитьв виде суммы двух составных;Ответ: 2, 3, 5, 7 , 11 - нельзя записать в виде суммы двух составных;