Найти производную y=8x в 10 степени +4х в 8 степени -10х во 2 степени +5

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции y = 8x¹⁰ +4х⁸ - 10х² + 5.

Формулы и правила для вычисления производной

• (с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции);
• (xⁿ)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции);
• (с*u)’ = с*u’, где с – const (основное правило дифференцирования);
• (u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

Вычисление производной

Найдём производную данной функции: y = 8x¹⁰ +4х⁸ - 10х² + 5.

Для данной функции, чтобы найти производную будем использовать правило дифференцирования суммы, а именно:

y\' = (8x¹⁰ +4х⁸ - 10х² + 5)’ = (8x¹⁰)’ + (4х⁸) + (- 10х²) + (5)’.

Используя, формулы и правила для вычисления производной, дифференцируем функцию почленно:

1. Вычислим производную от «8x¹⁰»:

• «8» – это const, то есть по правилу дифференцирования «8» остается;
• производная от «x¹⁰» – это будет «10 * x^(10-1) = 10х⁹»;
• следовательно, у нас получается, что (8x¹⁰)’ = 8 * 10 * х⁹ = 80х⁹.

1. 2. Вычислим производную от «4х⁸»:

• «4» – это const, то есть по правилу дифференцирования «4» остается;
• производная от «х⁸» – это будет «8 * x^(8-1) = 8х⁷»;
• следовательно, у нас получается, что (4х⁸)’ = 4 * 8 * х⁷ = 32х⁷.

1. Вычислим производную от «- 10х²»:

• «- 10» – это const, то есть по правилу дифференцирования «- 10» остается;
• производная от «х²» – это будет «2 * x^(2-1) = 2х»;
• следовательно, у нас получается, что (- 10х²)’ = (-10) * 2 * х = - 20х.

1. Вычислим производную от «5»: производная от «5» – это будет «0», следовательно, у нас получается, что (5)’ = 0.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (8x¹⁰ +4х⁸ - 10х² + 5)’ = (8x¹⁰)’ + (4х⁸) + (- 10х²) + (5)’ = 80х⁹ + 32х⁷ (- 20х) + 0 = 80х⁹ + 32х⁷ - 20х.

Следовательно, наша производная будет выглядеть следующим образом:

у’ = 80х⁹ + 32х⁷ - 20х.

Для того, чтобы найти производную функции y = 8 * x ^ 10 + 4 * х ^ 8 - 10 * х ^ 2 + 5, используем формулы производной:1) (x - y) \' = x \' - y \';2) (x ^ n) \' = n * x ^ (n - 1);3) (C * x \' ) = C * x \';4) C \' = 0; Тогда получаем:Производная y = y \' = (8 * x ^ 10 + 4 * х ^ 8 - 10 * х ^ 2 + 5) \' = (8 * x ^ 10) \' + (4 * x ^ 8) \' - (10 * x ^ 2) \' + 5 \' = 8 * (x ^ 10) \' + 4 * (x ^ 8) \' - 10 * (x ^ 2) \' + 0 = 8 * 10 * x ^ (10 - 1) + 4 * 8 * x ^ (8 - 1) - 10 * 2 * x ^ (2 - 1) = 80 * x ^ 9 + 32 * x ^ 7 - 20 * x;Ответ: y \' = 80 * x ^ 9 + 32 * x ^ 7 - 20 * x.