Основания трапеции равны 1 и 17 найдите больший из отрезков на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей

Пусть дана трапеция АВСD, основания которой ВС = 1 и АD = 17. В трапеции проведена средняя линия МN и диагональ АС, пересекающиеся в точке Р. По свойству средней линии трапеции МN | | АD, тогда по теореме Фалеса точка Р будет серединой диагонали. Значит, в треугольнике АВС отрезок МР будет средней линией и МР = ВС/2 = 1/2 = 0,5. В треугольнике АСD отрезок РN будет средней линией и РN = АD/2 = 17/2 = 8,5. Из отрезков МР и РN, на которые делит среднюю линию трапеции ее диагональ, большим является отрезок РN = 8,5.Ответ: отрезок РN = 8,5 является большим из отрезков, на которые делит среднюю линию трапеции ее диагональ.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить:

1. определение трапеции, и её свойства;
2. определение средних линий треугольника и трапеции и их свойства;
3. теорему Фалеса. 

Дополнительные построения

Иногда геометрические задачи для своего решения требуют дополнительные построения, позволяющие задействовать свойства более простых фигур, образовавшихся в результате этих построений.

Пусть дана трапеция АВСD с основаниями ВС = 1 и АD = 17, точка М – середина стороны АВ, К – середина стороны СD, МК – средняя линия трапеции, АС – диагональ трапеции, МК пересекает АС в точке Р.

Чтобы найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей, рассмотрим получившийся угол АСD. 

Определение длины отрезка

Через концы отрезков СК = КD, расположенных на стороне угла АСD, проведены МК и АD. Они параллельны, то есть МК | | АD по свойству средней линии трапеции. Тогда по теореме Фалеса на другой стороне угла эти прямые отсекут равные отрезки: АР = РС. Получается, что РК – средняя линия треугольника АСD, которая равна половине его основания:

РК = АD/2;

РК = 17/2 = 8,5.

Точка Р, образовавшаяся при пересечении диагональю АС средней линии МК, делит МК на две неравные части: МК = МР + КР.  

По свойству средней линии трапеции:

МК = (ВС + АD) : 2;

МК = (1 + 17) : 2 = 9, тогда

МР = МК – КР;

МР = 9 – 8,5 = 0,5.  

Получается, что МР < КР, и большим из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей, будет РК = 8,5.

Ответ: больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей имеет длину 8,5.