Решите неравенство |x-4|<3

Неравенства с модулем бывают двух видов: |x| > a и |x| < a.

Правила решения неравенств с модулем

1. Модуль числа - это число, только без минуса. Например, |- 8| = 8. Модуль положительного числа равен самому числу. Например, |4| = 4. То есть под знаком модуля может быть или положительное или отрицательное число.
2. Значение модуля числа (или выражения) никогда не может быть отрицательным, хотя под знаком модуля может быть отрицательное число.
3. Поэтому если  |x| > a, то х > a либо x < - a.
4. И если |x| < a, то x < a либо х > - a.

Нам дано неравенство |х - 4| < 3.

По правилам раскрытия модуля х - 4 < 3 либо х - 4 > - 3.

Решаем оба получившихся неравенства

1) х - 4 < 3

Переносим - 4 в правую часть, меняя знак.

х < 3 + 4

х < 7

2) х - 4 > - 3

Переносим - 4 в правую часть, меняя знак.

х > - 3 + 4

х > 1

Находим решение неравенства при помощи числовой прямой. Рисуем прямую, отмечаем на ней две точки 1 и 7 (7 правее, потому что 7 больше 1), обводим оба числа в кружок (выкалываем точки), потому что неравенство строгое.

Так как х > 1, то штрихуем прямую правее числа 1.

Так как х < 7, то штрихуем прямую левее числа 7.

И смотрим, где штриховка совпала. У нас совпала на промежутке от 1 до 7, это и будет решением неравенства.

Ответ: х принадлежит промежутку (1; 7).

Требуется решить неравенство: |x - 4| < 3.Заданное неравенство равносильно системе неравенств:х - 4 < 3,х - 4 > -3;х < 3 + 4,х > -3 + 4;х < 7,х > 1.Пересекая эти два интервала, получаем, что 1 < х < 7, то есть х є (1; 7).Ответ: решением системы является х є (1; 7).