Решите уравнение 7^-x+3*7^1+x>4

Показательное неравенство - это неравенство, где неизвестная величина (переменная) находится в степени какого-либо числа.

Решение показательного неравенства

1. Нужно заменить число в степени другой переменной,
2. Решить получившееся уравнение,
3. Вернуться к замене переменной и решить новое (или несколько новых) уравнений.

Возможные действия с числами в степени:

х^m+n = x^m * xⁿ

(x^m)ⁿ = (x^m)ⁿ

x^-n = 1/xⁿ

Нам дано показательное неравенство 7^-x + 3*7^1+x > 4

По формуле х^m+n = x^m * xⁿ разложим на два числа выражение 7^1+x :

7^1+x = 7¹ * 7^х = 7 * 7^x

 

По формуле x^-n = 1/xⁿ представим число 7^-x как 1/7^x .

Получилось неравенство

1/7^x + 3*7*7^x > 4

1/7^x + 21*7^x > 4

Произведем замену

Пусть 7^х = р.

Получилось неравенство вида

1/р + 21р > 4

Перенесем 4 в левую часть и приведем левую часть к общему знаменателю р.

1/р + 21р - 4 > 0

(1 + 21р² - 4р)/р > 0

(21р² - 4р + 1)/р > 0

Дробь больше нуля тогда, когда и числитель и знаменатель имеют одинаковый знак.

Получается две системы неравенств.

1) Первая система.

21р² - 4р + 1 > 0

р > 0

у = 21р² - 4р + 1 квадратичная функция, ветви вверх.

y = 0, 21р² - 4р + 1 = 0

D = 16 - 84 = 68 (корней нет), нет точек пересечения графика функции с осью х, вся парабола лежит выше оси х.

Решением неравенства 21р² - 4р + 1 > 0 является промежуток (-бесконечность; +бесконечность).

Решение системы 21р² - 4р + 1 > 0 и р > 0 является промежуток (0; + бесконечность)

2) Вторая система:

21р² - 4р + 1 < 0

р < 0

Решения первого неравенства нет - вся парабола выше оси х, отрицательных значений не может быть. 

Решения неравенства нет.

3) Возвращаемся к замене 7^х = р.

Решение неравенства с заменой было р > 0, значит 7^х > 0.

Так как 7^х это всегда положительное число, то решение всего неравенства будет: х - любое число.

7 ^ (- x) + 3 * 7 ^ (1 + x) > 4;7 ^ (- x) + 3 * 7 ^ (1 + x) - 4 > 0;Правую и левую часть выражения умножаем на 7 ^ x, тогда получим:1/7 ^ x + 3 * 7 ^ 1 * 7 ^ x - 4 > 0;1/7 ^ x + 21 * 7 ^ x - 4 > 0;1/7 ^ x * 7 ^ x + 21 * 7 ^ x * 7 ^ x - 4 * 7 ^ x > 0;1 + 21 * (7 ^ x) ^ 2 - 4 * 7 ^ x > 0;21 * (7 ^ x) ^ 2 - 4 * 7 ^ x + 1 > 0;21 * (7 ^ x) ^ 2 - 4 * 7 ^ x + 1 = 0;Пусть, 7 ^ x = a, тогда:21 * a ^ 2 - 4 * a + 1 = 0;D = b ^ 2 - 4 * a * c = (- 4) ^ 2 - 4 * 21 * 1 = 16 - 86 = - 70;Уравнение не имеет корней.Ответ: неравенство не имеет решений.