Разложить на множители и решить по теореме виета: 1)х³-8х²+7х 2)х³-5х²+6х

1). Разложим многочлен на множители, вынеся общий множитель х за скобки: х³ – 8 ∙ х² + 7 ∙ х = (х² – 8 ∙ х + 7) ∙ х. Чтобы найти корни многочлена, приравняем его к нулю: (х² – 8 ∙ х + 7) ∙ х = 0 и решим полученное уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, получаем корень х₃ = 0. Корни квадратного двучлена х² – 8 ∙ х + 7 найдём по теореме Виета:х² – 8 ∙ х + 7 = 0;х₁ ∙ х₂ = 7;х₁ + х₂ = 8;х₁ = 1;х₂ = 7.Ответ: корнями многочлена являются числа 0; 1; 7.2). Разложим многочлен на множители, вынеся общий множитель х за скобки х³ – 5 ∙ х² + 6 ∙ х = (х² – 5 ∙ х + 6) ∙ х. Чтобы найти корни многочлена, приравняем его к нулю: (х² – 5 ∙ х + 6) ∙ х = 0 и решим полученное уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, получаем корень х₃ = 0. Корни квадратного двучлена х² – 5 ∙ х + 6 найдём по теореме Виета:х² – 5 ∙ х + 6 = 0;х₁ ∙ х₂ = 6;х₁ + х₂ = 5;х₁ = 2;х₂ = 3.Ответ: корнями многочлена являются числа 0; 2; 3.

Разложим на множители выражения 1) x^3 - 8x^2 + 7x; 2) x^3 - 5x^2 + 6x, используя теорему Виета.

Составим алгоритм действий для решения задания

• вынесем общий множитель за скобки и в результате в скобках получим квадратный трехчлен;
• вспомним формулу для разложения квадратного трехчлена на множители;
• приравняем квадратный трехчлен к нулю и найдем корни по теореме Виета;
• разложим на множители выражение.

Разложим на множители x^3 - 8x^2 + 7x

Вынесем за скобки общий множитель — это x;

x^3 - 8x^2 + 7x = x(x^2 - 8x + 7);

В скобках мы получили квадратный трехчлен. А мы знаем, что его можно разложить на множители: ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где x1, x2 — корни полного квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

Приравниваем квадратный трехчлен к нулю:

x^2 - 8x + 7 = 0;

Искать корни будем по теореме Виета. Вспомним ее.

Теорема Виета.

Для приведенного квадратного уравнения (x^2 + bx + c = 0, a = 1) сумма корней равна коэффициенту b, взятому с обратным знаком (– b), а произведение корней равно свободному члену c:

x1 + x2 = – b;

x1 * x2 = c.

Для уравнения x^2 - 8x + 7 = 0;

x1 + x2 = 8;

x1 * x2 = 7.

Методом подбора получаем корни x1 = 7; x2 = 1.

Разложим на множители выражение:

x(x^2 - 8x + 7) = x(x - 7)(x - 1);

Разложим на множители x^3 - 5x^2 + 6x

Решаем по аналогии с предыдущим.

x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6);

x^2 - 5x + 6 = 0;

Находим корни по теореме Виета.

x1 + x2 = 5;

x1 * x2 = 6;

Методом подбора получаем корни: x1 = 3; x2 = 2.

Разложим на множители:

x(x^2 - 5x + 6) = x(x - 2)(x - 3).

Ответ: 1) x(x - 7)(x - 1); 2) x(x - 2)(x - 3).