Образующая конуса равна 10 см, а площадь его боковой поверхности равна 60 Пи. Найти объём вписанного в конус шара

Перед решением задачи сделаем рисунок конуса. Обозначим вершину конуса буквой В. Проведем диаметр в основании конуса, назовем его АС. Точка О - центр окружности, основания конуса.

Данные по условию:

S_бок = 60П

l = 10 см.

• Объем шара находится по формуле V = 4/3 * ПR³, где V - объем конуса, R - радиус шара;
• Площадь боковой поверхности конуса равна S_бок = Пrl, где r - радиус основания, l - образующая конуса;
• Площадь треугольника равна S_тр = 1/2 * a * h, где a - основание, h - высота, проведенная к этому основанию;
• Радиус вписанной в треугольник окружности равен R = S/p, где R - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника;
• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 

Из формулы S_бок = Пrl выразим радиус основания.

r = S_бок/Пl = 60П/10П = 6 см.

1. Рассмотри треугольник ВОС:

ВС = 10 см, ОС = 6 см.

угол О = 90 градусов, значит треугольник ВОС прямоугольный.

2. По теореме Пифагора найдем высоту конуса:

ВС² = ОС² + ВО²

Отсюда ВО²  = ВС² - ОС² 

ВО² = 100 - 36 = 64

ВО = 8 см. 

3. Найдем площадь треугольника АВС.

S_авс = 1/2 * ВО * АС = 1/2 * 8 * 12 = 48 см².

4. Найдем полупериметр треугольника АВС:

р = (10 + 10 + 12)/2 = 16 см.

5. Из формулы R = S/p найдем радиус вписанной окружности, то есть радиус вписанного шара.

R = 48/16 = 3 см

6. Находим объем вписанного шара по формуле V = 4/3 * ПR³.

V = 4/3 * 3³ * П = 4/3 * 27 * П = 4 * 9 * П = 36П 

Ответ: объем вписанного шара равен 36П.

АС = 10 см.

Sбок = 60 *П.

Vшар - ?

1. Объем шара Vшар определяется формулой: Vшар = 4 *П *НО1^3/3, где НО1 - радиус шара.
2. Площадь боковой поверхности Sбок определяется формулой: Sбок = П *ОА  *АС.

Найдем ОА = Sбок /П *АС.

ОА = 60 *П /П * 10 см = 6 см.

1. Δ АОС - прямоугольный, по теореме Пифагора найдем высоту конуса.

 СО =  √(АС^2 - АО^2).

СО =  √(10^2 - 6^2) = √64 = 8 см.

1. Δ СНО1 подобный ΔСАО.

НО1/АО = СО1/АС.

ОО1 = О1Н.

СО1 = СО - НО1.

НО1/6 = (8 -НО1)/10.

16 *НО1 = 48.

НО1 =3 см.

1. Найдем объем шара: Vшар = 4 *П *НО1^3/3.

Vшар = 4 *П *(3)^3/3 = 36 *П.

Ответ: Vшар = 36 *П.

Рисунок:  http://bit.ly/2AqWm98