Сколько будет корень из двух?

Решение:

корень из двух - означает, что некое положительное число необходимо умножить само на себя и в ответе должно получиться 2. Отсюда следует, что:

корень из 2 равен примерно 1,4142135624.

Проверка:

1,4142135624 * 1,4142135624 = 2.

Ответ: корень из 2 приблизительно равно 1,4142135624.

Вычислим значение √2 с помощью дифференциала.

Для того, чтобы высчитать приближенное значение, нужно сделать следующие действия:

• Определить приращение значения (на сколько единиц наша функция отличается от дифференцируемого значения, то есть такого, из которого квадратный корень хорошо высчитывается);
• найти производную функции (в нашем случае - производную квадратного корня);
• найти производную от дифференцируемого значения (подставить число в производную);
• подставить все данные в формулу f(x₀ + Δx) = f(x₀) + f`(x₀) * Δx, где (x₀ + Δx) - это значение числа с его приращением, Δx - приращение.

2) Примем за х₀ число 1 (из него квадратный корень вычисляется).

Вычислим приращение функции Δx = 2 - 1 = 1.

Найдем производную функции: f(x) = √x = x^1/2;

f`(x) = 1/2 * (х)^{1/2 - 1} = 1/2 * х^-1/2 = 1/(2х^1/2) = 1/(2√x);

Вычислим производную от числа 1:

f`(1) = 1/(2√1) = 1/2 = 0,5.

Подставим все значения в формулу f(x₀ + Δx) = f(x₀) + f`(x₀) * Δx:

√2 = √1 + 0,5 * 1 = 1 + 0,5 = 1,5. То есть √2 приближенное равно 1,5.

2) За х₀ можно было взять другое ближайшее число, из которого вычисляется квадратный корень, например, х₀ = 4.

Тогда приращение будет равно Δx = 2 - 4 = -2.

 f(x) = √x; f`(x) = 1/(2√x).

Производная от числа 4 будет f`(4) = 1/(2√4) = 1/(2 * 2) = 1/4 = 0,25.

Подставляем все значения в формулу:

√2 = √4 + 0,25 * (-2) = 2 - 0,5 = 1,5.

Ответ: √2 ~ 1,5.