Число 72 представьте в виде суммы трёх положительных чисел так чтобы два из них были равны между собой, а сумма квадратов

Сведем решение данной задачи к исследованию некоторой функции на экстремум.

Составляем функцию, которую будем исследовать на экстремум

Обозначим через х то число из данных трёх положительных чисел, для которого среди двух оставшихся чисел есть равное ему число.

Тогда это второе равное первому число также будет равно х.

Выразим через х третье число.

Обозначим его через у.

Согласно условию задачи, сумма трёх данных чисел равна 72, следовательно, можем записать следующее соотношение: 

х + х + у = 72.

Из полученного соотношения находим у:

2х + у = 72;

у = 72 - х.

Запишем выражение, равное сумме квадратов этих трёх чисел:

х² + х² + (72 - х)² = 2х² + 5184 - 144х + х² =  3х² - 144х + 5184.

Следовательно,  сумма квадратов этих трёх чисел принимает наименьшее значение при таком значении х, при котором функция f(x) = 3х² - 144х + 5184 принимает наименьшее значение.

Исследуем данную функцию на экстремум

Для того, чтобы найти наименьшее значение данной функции, необходимо:

• найти производную данной функции;
• найти критические точки, то есть точки, в которых это производная обращается в ноль;
• определить знак производной слева и справа от критических точек. Если слева от критической точки производная отрицательна, а справа положительная, то в данной точке функция достигает локального минимума.

Находим производную функции f(x) = 3х² - 144х + 5184:

f\'(x) = (3х² - 144х + 5184)\' = 6x - 144.

Находим критические точки:

6x - 144 = 0;

6х = 144;

х = 144 / 6;

х = 24.

Следовательно, у данной функции есть одна критическая точка х = 24.

Поскольку при x < 24 производная данной функции меньше 0, а при x > 24 производная данной функции больше 0, то слева от этой точки данная функция убывает,  а справа — возрастает.

Следовательно, в данной точке функция f(x) = 3х² - 144х + 5184 достигает абсолютного минимума.

Следовательно, сумма квадратов трех положительных чисел, удовлетворяющих условию задачи, наименьшей будет, когда два числа равны 24, а третье число равно 72 - 2 * 24 = 72 - 48 = 24.

Таким образом все три числа должны быть равны между собой.

Ответ: 72 = 24 + 24 + 24.

 

 

Пусть первые два числа равны х, тогда третье число (72 – 2 * х).Сумма квадратов чисел:F(x) = х^2 + x^2 + (72 – 2 * x)^2 = 2 * x^2 + 72 * 72 – 288 * x + 4 * x^2 = 6 * x^2 – 288 * x + 5184.Найдем производную полученной функции F(x).Fmin = F′(x) = (6 * x^2 – 288 * x + 5184)′ = 2 * 6 * x – 288 = 12 * x - 288.Так как F′(x) = 0, тогда 12 * x – 288 = 0.Следовательно, х = 24.Третье число: 72 – 2 * 24 = 24.Таким образом, искомая сумма 24 + 24 + 24 = 72.