(x^2+16)^2+(x^2+x-12)^2=0

Решим уравнение (x ^ 2 - 16) ^ 2 + (x ^ 2 + x - 12) ^ 2 = 0 

Разложим выражение x ^ 2 – 16 на множители, используя формулу сокращенного умножения a ^ 2 – b ^ 2 = (a – b) * (a + b).

Разложим выражение x ^ 2 + x – 12 на множители. Для этого, приравняем выражение к 0 и получим:

X ^ 2 + x – 12 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ² – 4 * a * c = 1 ² – 4 · 1 · (- 12) = 1 + 48 = 49;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x₁ = (- 1 - √49)/(2 · 1) = (- 1 – 7)/2 = - 8/2 = - 4;

x₂ = (- 1 + √49)/(2 · 1) = (- 1 + 7)/2 = 6/2 = 3;

Отсюда получаем:

(x ^ 2 - 16) ^ 2 + (x ^ 2 + x - 12) ^ 2 = 0;

(x ^ 2 – 4 ^ 2) ^ 2 + (x ^ 2 + x - 12) ^ 2 = 0; 

((x – 4) * (x + 4)) ^ 2 + (((x – (- 4)) * (x – 3)) ^ 2 = 0;

Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

((x – 4) * (x + 4)) ^ 2 + ((x + 4) * (x – 3)) ^ 2 = 0;

(x – 4) ^ 2 * (x + 4) ^ 2 + (x + 4) ^ 2 * (x – 3) ^ 2 = 0;

Для того, чтобы упростить выражения,, используем следующий порядок действий: 

1. Сначала сгруппируем подобные значения;
2. Вынесем за скобки общий множитель;
3. Найдем значение выражения в скобках и упростим выражение.

(x + 4) ^ 2 * ((x - 4) ^ 2 + (x – 3) ^ 2) = 0;

(x + 4) ^ 2 * (x ^ 2 – 8 * x + 16 + x ^ 2 – 6 * x + 9) = 0;

(x + 4) ^ 2 * (2 * x ^ 2 – 14 * x + 25) = 0;

Приравняем каждое уравнение к 0 и найдем корни уравнения

{ (x + 4) ^ 2 = 0;

2 * x ^ 2 – 14 * x + 25 = 0;

{ x + 4 = 0;

2 * x ^ 2 – 14 * x + 25 = 0;

Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

{ x = - 4;

2 * x ^ 2 – 14 * x + 25 = 0 – уравнение не имеет корней.

Отсюда получили, что уравнение (x ^ 2 - 16) ^ 2 + (x ^ 2 + x - 12) ^ 2 = 0  имеет один корень х = - 4.

Т.к. квадрат числа - всегда положительное число, либо равно 0, то для того, чтобы выполнялось равенство необходимо, чтобы:

x^2 + 16 = 0 и x^2 + x - 12 = 0

x^2 + 16 = 0 данное равенство решений не имеет, т.к. чтобы оно выполнялось x^2 = -16 (квадрат числа не может быть меньше 0)

Ответ: решений нет