Зная, что cos a= \frac{12}{13} 0 < a

Найдем sin(a) = +- √(1 - 12^2 / 13^2) =+-√(169/169 - 144/169) = +- 5/13.

Поскольку 0 < a < π/2 sin(a) = + 5/13.

tg(a) = 5/13 : 12/13 = 5/12

Воспользуемся формулой для тангенса суммы двух аргументов:

tg(α + ß) = (tg(α) + tg(ß)) / ( 1 - tg(α) * tg(ß).

tg(π/4 + a) = (tg(π/2) + tg(a)) / ( 1  - tg(a) * tg(π/4) = 1 + tg(a) / ( 1 - tg(a) = (1 + 5/12) * ( 1 - 5/12) = 17/12 : 7/12 = 17/7. 

cosa = 12/13 0 < a < П/2 tg(П/4 + a) - ?

• Знаки тригонометрических функций по четвертям. Нам дан угол I четверти, синус, косинус и тангенс здесь положительный;
• как выразить тангенс через синус и косинус: tga = sina/cosa;

• основную тригонометрическую формулу: sin²a + cos²а = 1;

• тангенс суммы углов: tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 – tgα * tgβ);
• значение tg П/4 = 1.

Из формулы sin²a + cos²а = 1 выразим синус.

sin²a = 1 - cos²а 

Подставим значение косинуса и найдем синус угла.

sin²a = 1 - (12/13)² = 1 - 144/169 = 25/169

sina = 5/13 (синус в I четверти положительный)

tga = sina/cosa

Подставляем значения синуса и косинуса, отсюда tga = 5/13 : 12/13 = 5/12

По формуле tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 – tgα * tgβ) найдем tg(П/4 + a).

tg(П/4 + a) = (tgа + tgП/4)/(1 – tgа * tgП/4)

Так как tgа = 5/12, а tgП/4 = 1, подставляем значения в формулу.

tg(П/4 + a) = (1 + 5/12)/(1 - 1 * 5/12) = (17/12)/(7/12) = 17/12 * 12/7 = 17/7 = 2 3/7

Ответ: tg(П/4 + a) = 2 3/7