Решить уравнение : по теме -уравнения сводящиеся к квадратным 1)х⁴-5х²+4=0 2)х⁴-50х²+49=0

Алгоритм решения биквадратных уравнений:

1. Понизить степень уравнения, введя новую переменную у = х².
2. Решить полученное квадратное уравнение с новой переменной у.
3. Вернуться в замену, подставить вместо переменной у полученные значения
4. Решить полученное неполное квадратное уравнение с переменной х.

Решение уравнения х⁴ - 5х² + 4 = 0

1) Пусть у = х².

2) Тогда получаем новое уравнение второй степени:

у² - 5у + 4 = 0

Коэффициенты данного уравнения: a = 1, b = -5, c = 4.

Дискриминант равен: D = b² – 4ac = (-5)² – 4 · 1 · 4 = 9 Дискриминант D > 0, следовательно уравнение имеет два действительных корня.

у1 = (-b + √D) / 2а = (-(-5) + √9) / 2 * 1 = 4.

у2 = (-b - √D) / 2а = (-(-5) - √9) / 2 * 1 = 1.

3) Вернувшись к замене у = х², подставим в нее вместо у найденные значения и получим два сокращенных квадратных уравнения: х² = 4 и х² = 1.

4)  х² = 4

х = ±√4

х_1,2 = ±2;

х² = 1

х = ±√1

х_3,4 = ±1.

Ответ: х_1,2 = ±2; х_3,4 = ±1.

Решение уравнения х⁴ - 50х² + 49 = 0

1) Пусть у = х².

2) Тогда получаем новое уравнение второй степени:

у² - 50у + 49 = 0

Коэффициенты данного уравнения: a = 1, b = -50, c = 49.

Дискриминант равен: D = b² – 4ac = (-50)² – 49 · 1 · 4 = 2304Дискриминант D > 0, следовательно уравнение имеет два действительных корня.

у1 = (-b + √D) / 2а = (-(-50) + √2304) / 2 * 1 = 49.

у2 = (-b - √D) / 2а = (-(-50) - √2304) / 2 * 1 = 1.

3) Вернувшись к замене у = х², подставим в нее вместо у найденные значения и получим два сокращенных квадратных уравнения: х² = 49 и х² = 1.

4)  х² = 49

х = ±√49

х_1,2 = ±7;

х² = 1

х = ±√1

х_3,4 = ±1.

Ответ: х_1,2 = ±7; х_3,4 = ±1.

 

Решим биквадратные уравнения:1) х^4 - 5х^2 + 4 = 0;х^2 = у;у^2 - 5х + 4 = 0;а = 1, b = -5, с = 4;D = b^2 - 4 * а * с = 25 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9;у = (-b + √ D)/2 * а = (5 + √ 9)/2 * 1 = (5 + 3)/2 * 1 = 8/2 = 4;у = (-b - √ D)/2 * а = (5 - √ 9)/2 * 1 = (5 - 5)/2 * 1 = 0;х^2 = 4;х = -2;х = 2;х^2 = 0;х = 0.Ответ: -2; 2; 0;2) х^4 - 50х^2 + 49 = 0;х^2 = у;у^2 - 50х + 49 = 0;а = 1, b = -50, с = 49;D = b^2 - 4 * а * с = 2500 - 4 * 1 * 49 = 2500 - 196 = 2304;у = (-b + √ D)/2 * а = (50 + √ 2304)/2 * 1 = (50 + 48)/2 * 1 = 98/2 = 49;у = (-b - √ D)/2 * а = (50 - √ 2304)/2 * 1 = (50 - 48)/2 * 1 = 2/2 = 1;х^2 = 49;х = -7;х = 7;х^2 = 1;х = -1;х = 1.Ответ: -7; 7; 1; -1.