Найдите производную функции y=(5x^3)/(4-x^2)

Найдем производную функции y = (5 * x ^ 3)/(4 - x ^ 2);Для того, чтобы найти производную функции y = (5 * x ^ 3)/(4 - x ^ 2) используем формулы производной:1) (x/y) \' = (x \' * y - y \' * x)/y ^ 2;2) (x ^ n) \' = n * x ^ (n - 1);3) (x - y)\' = x \' - y \';4) C \' = 0;Тогда получаем:y \' = ((5 * x ^ 3)/(4 - x ^ 2)) \' = ((5 * x ^ 3) \' * (4 - x ^ 2) - (4 - x ^ 2) \' * (5 * x ^ 3))/(4 - x ^ 2) ^ 2 = (15 * x ^ 2 * (4 - x ^ 2) + 2 * x * 5 * x ^ 3)/(4 - x ^ 2) = (60 * x ^ 2 - 15 * x ^ 4 + 10 * x ^ 4)/(4 - x ^ 2).

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции y = 5x³ / (4-x²)

Формулы и правила для вычисления производной

• (с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции);
• (xⁿ)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции);
• (с*u)’ = с*u’, где с – const (основное правило дифференцирования);
• (u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования);
• (u / v)’ = (u’v - uv’) / v² (основное правило дифференцирования).

Вычисление производной

Найдём производную функции: y = 5x³ / (4-x²).

Для данной функции, чтобы найти производную будем использовать правило дифференцирования частного, а именно:

y\' = ((5x³)’ * (4-x²) - (5x³) * (4-x²)’) / (4-x²)².

Используя, формулы и правила для вычисления производной, дифференцируем функцию почленно:

1. Вычислим производную от «5x³»:

• «5» – это const, то есть по правилу дифференцирования «5» остается;
• производная от «х³» – это будет «3 * x^(3-1) = 3х²»;
• следовательно, у нас получается, что (5x³)’ = 5 * 3 * х² = 15х²

1. Вычислим производную от «(4 - x²)»:

• «4» – это будет «0»;
• производная от «-х²» – это будет «-2 * x^(2-1) = -2х»;
• следовательно, у нас получается, что (4 - x²)’ = 0 + (-2х)= -2х.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

у’ = ((5x³)’ * (4-x²) - (5x³) * (4-x²)’) / (4-x²)² = (15х² * (4-x²) - (5x³) * (-2х)) / (4-x²)².

Знаменатель оставим без изменений, а числитель упростим.

Рассмотрим числитель отдельно, то есть раскроем скобки у нас получится:

15х² * (4-x²) - (5x³) * (-2х) = 15х² * 4 - 15х² * x² - 5x³ * (-2х) = 60х² - 15х⁴ + 10x⁴ = 60х² - 5х⁴ = 5х² (12 - х²).

Следовательно, наша производная будет выглядеть следующим образом:

у’ = 5х² (12 - х²) / (4-x²)²