Всегда ли разность двух простых чисел является составным числом?

Если взять произвольные простые числа, то может оказаться, что их разностьявляется составным числом. Например:11 - 5 = 6 .Здесь 11 и 5 являются простыми числами, а 6 является составным числом.Действительно, 6 можно разложить на два простых множителя:6 = 2 * 3 .Но можно обратить внимание на самое начало списка простых чисел. Там стоит 2 . Дело в том, что число 2 считается простым, 2 начинает список простых чисел. Рассмотрим примеры, в которых простые числа отличаются на 2 :5 - 2 = 3 ;5 - 3 = 2 .Ещё примеры:7 - 5 = 2 ;7 - 2 = 5 .Ещё примеры:13 - 11 = 2 ;13 - 2 = 11 .Есть множество случаев, когда разность двух простых чисел является простым числом.Например:619 - 617 = 2 .Если просмотреть таблицу простых чисел, обнаружится множество простых чисел,отличающихся на двойку. И это опровергает утверждение, что разность простыхчисел, — обязательно число составное.

Покажем, что разность двух простых чисел может быть как составным числом, так и простым числом. Для этого:

• приведем примеры, когда разность двух простых чисел является составным числом;
• приведем примеры, когда разность двух простых чисел является простым числом;
• на основании приведенных примеров сделаем выводы от том, каким условиям должны удовлетворять два простых числа, что бы их разность была простым числом.

Приведем примеры, когда разность двух простых чисел является простым числом

Пример 1.

Рассмотрим два составных числа 31 и 29.

Разность данных чисел равна 31 - 29 = 2 и является простым числом.

Пример 2.

Рассмотрим два составных числа 43 и 2.

Разность данных чисел равна 43 - 2 = 41 и является простым числом.

Приведем примеры, когда разность двух простых чисел является составным числом

Пример 3.

Рассмотрим два составных числа 47 и 23.

Разность данных чисел равна 47 - 23 = 24 и является составным числом.

Пример 4.

Рассмотрим два составных числа 59 и 2.

Разность данных чисел равна 59 - 2 = 57 и является составным числом.

Сделаем выводы, которые следуют из приведенных примеров

Все простые числа, за исключением числа 2 являются нечетными числами.

Разность двух различных нечетных чисел равна четному числу.

Поскольку среди всего множества четных чисел есть только одно простое число, равное 2, можем сделать следующий вывод.

Вывод 1.

Разность двух простых нечетных чисел будет простым числом только в том случае, когда одно из двух простых чисел больше второго на 2 (Пример 1) или эти два числа равны между собой. 

Если, одно из данных простых чисел четное (то есть равно 2), можем сделать следующий вывод.

Вывод 2.

Разность двух простых чисел, одно из которых равно 2 может быть как простым числом (Пример 2), так и составным числом (Пример 4).