Найдите производную функции y=2^tgx

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции f(x) = 2^{tg x}. Для этого будем использовать основные формулы и правила дифференцирования.

Формулы и правила для вычисления производной

• (tg x)’ = 1 / (cos² x) (производная основной элементарной функции);
• (a^x)’ = a^xln a (производная основной элементарной функции);
• (xⁿ)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции);
• (с*u)’ = с*u’, где с – const (основное правило дифференцирования);
• (u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования);
• y = f(g(x)), y’ = f’_u(u) * g’_x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Вычисление производной

Найдём производную нашей функции: f(x) = 2^{tg x}.

Для данной функции, чтобы найти производную будем использовать правило дифференцирования сложной функции, а именно:

f’(x) = (2^{tg x})’ = (tg x)’ * (2^{tg x})’.

1. Вычислим производную от «tg x»: производная от «tg x» – это будет «1 / (cos² x)», следовательно, у нас получается, что (tg x)’ = 1 / (cos² x)».
2. Вычислим производную от «2^{tg x}»: производная от «2^{tg x}» – это будет «2^{tg x} * ln (2)», следовательно, у нас получается, что (2^{tg x})’ = 2^{tg x} * ln (2) = 2^{tg x} ln (2).
3. Теперь соберем все вместе, и получим, что (tg x)’ * (2^{tg x})’ = (1 / (cos² x)) * 2^{tg x} ln (2) = (2^{tg x} ln (2)) / (cos² x).

Следовательно, наша производная данной функции будет выглядеть следующим образом:

f’(x) = (2^{tg x})’ = (tg x)’ * (2^{tg x})’ = 1 / (cos² x)) * 2^{tg x} ln (2) = (2^{tg x} ln (2)) / (cos² x).

Ответ: Производная данной функции f(x) = 2^{tg x} будет выглядеть следующим образом f’(x) = (2^{tg x} ln (2)) / (cos² x).

Для того, чтобы найти производную функции y = 2 ^ tg x, используем формулы производной:1) (a ^ u) \' = a ^ u * ln a * u \';2) tg \' x = 1/sin ^ 2 x;То есть получаем:y \' = (2 ^ tg x) \' = 2 ^ tg x * ln (tg x) * (tg x) \' = 2 ^ tg x * ln (tg x) * 1/sin ^ 2 x = 2 ^ tg x * ln (tg x)/sin ^ 2;В итоге получили, y \' = 2 ^ tg x * ln (tg x)/sin ^ 2;Ответ: y \' = 2 ^ tg x * ln (tg x)/sin ^ 2.