Вычислите: lim(n стремится к беск)(1+ 4/n)^-n

Для того, чтобы найти значение выражения lim (n → ∞) (1+ 4/n) ^ (- n), нужно n → ∞, подставить в в выражение (1+ 4/n) ^ (- n) и найти его примерное значение. То есть получаем:lim (n → ∞) (1+ 4/n) ^ (- n) ≈ (1+ 4/∞) ^ (- ∞) = (1+ 0) ^ (- ∞) = (1) ^ (- ∞) = 1/1 ^ ∞ = 1/1 = 1;В итоге получили, lim (n → ∞) (1+ 4/n) ^ (- n) ≈ 1.Ответ: 1.

В задаче требуется вычислить значение А для предела числовой последовательности а_n:

А = lim _n→∞(а_n);

где последовательности а_n имеет вид:

а_n = (1 + 4 / n)^-n;

Преобразование числовой последовательности

Для вычисления предела данной последовательности а_n воспользуемся известным пределом другой последовательности:

b_n = (1 + 1 / n)ⁿ;

Предел последовательности b_n при n→∞ равен числу e:

lim _n→∞(b_n) = e;

Число е примерно равно:

е ~ 2,72

и называется числом Непера по имени шотландского математика.

Для решения данной задачи:

• запишем последовательность а_n в виде дроби;
• воспользуемся заменой переменной для приведения выражения в скобках к виду b_n;
• используем основные свойства предела для произведения и частного последовательностей;
• найдем предел последовательности а_n, используя число е.

Получаем:

а_n = (1 + 4 / n)^-n = 1 / (1 + 4 / n)ⁿ;

Воспользуемся заменой переменных. Пусть:

m = n / 4;

или

n = 4 * m;

Тогда:

1 / (1 + 4 / n)ⁿ = 1 / (1 + 1 / m)^4m;

Учитывая, что если n→∞, то и m→∞, можно записать:

А = lim _m→∞(1 / (1 + 1 / m)^4m)

Вычисление предела А

Используя свойства для предела частного и произведения последовательностей, находим:

А = lim _m→∞(1 / (1 + 1 / m)^4m) = 1 / lim _m→∞(1 + 1 / m)^4m;

Далее:

lim _m→∞(1 + 1 / m)^4m = lim _m→∞((1 + 1 / m)^m)⁴ = lim _m→∞(1 + 1 / m)^m * lim _m→∞(1 + 1 / m)^m * lim _m→∞(1 + 1 / m)^m * lim _m→∞(1 + 1 / m)^m = e⁴;

и для А получаем:

А = 1 / lim _m→∞(1 + 1 / m)^4m = 1 / e⁴ = e^-4;

Ответ: предел последовательности (1 + 4 / n)^-n при n→∞ равен e^-4