Вычислить приближенно с помощью дифференциала. 1)∛310 2)⁴√158 3)√х² +3х+5 ,х=1,14

Приближенное значение при помощи дифференциала вычисляется по формуле f(x₀ + Δx) = f(x₀) + f`(x₀) * Δx, где (x₀ + Δx) - это значение числа с его приращением, Δx - приращение.

Для того, чтобы высчитать приближенное значение, нужно придерживаться следующего алгоритма:

1. Определить приращение значения (на сколько единиц наша функция отличается от дифференцируемого значения, то есть такого, из которого функция хорошо высчитывается);
2. найти производную функции;
3. найти производную от дифференцируемого значения;
4. подставить все данные в формулу и посчитать значение.

1) ∛310

Из 310 корень третьей степени не высчитывается, а из 343 можно высчитать корень третьей степени (это 7). Возьмем за х₀ число 343.

х₀ = 343

x₀ + Δx = 310

Δx = 310 - 343 = - 33 (приращение равно -33)

f(x) = ∛x

Найдем производную функции.

f`(x) = 1/3 * (х)^{1/3 - 1} = 1/3 * х^-2/3 = 1/(3х^2/3) = 1/(3∛x²)

Найдем производную от 343.

f`(x<sub>0</sub>) = f`(343) = 1/(3 * 49) = 1/147

Подставляем все в формулу и считаем.

f(x₀ + Δx) = f(343 - 33) = ∛343 + 1/147 * (- 33) = 7 - 33/147 =7 - 11/49 = 6 38/49

2) ⁴√158

Корень 4 степени высчитывается из 81 (это 3). Возьмем за х₀ число 81.

х₀ = 81

x₀ + Δx = 158

Δx = 158 - 81 = 77

f(x) = ⁴√158

f`(x) = 1/4 * x^{1/4 - 1} = 1/4 * x^-3/4 = 1/(4 ⁴√x³)

f`(81) = 1/(4 ⁴√81³) = 1/(4 * 27) = 1/108

⁴√158 = ⁴√81 + 1/108 * 77 = 3 + 77/108 = 3 77/108

3) √(х² + 3х + 5) при х = 1,14

Если будем подставлять 1,14, вычисления усложняются и квадратный корень потом не вычисляется. Возьмем за х₀ число 1.

х₀ = 1

x₀ + Δx = 1,14

Δx = 1,14 - 1 = 0,14

f(x) = √(х² + 3х + 5) = (х² + 3х + 5)^1/2 

f`(x) = 1/2 * (х² + 3х + 5)<sup>1-1/2</sup> * (х² + 3х + 5)`= (2x + 3)/2 * (х² + 3х + 5)^-1/2 = (2x + 3)/(2(х² + 3х + 5)^1/2) = 1/(2√(х² + 3х + 5))

f`(1) = (2 + 3)/(2 * √(1 + 3 + 5)) = 5/(2 * √ 9) = 5/6

f(1,14) = √(1² + 3 * 1 + 5) + 5/6 * 0,14 = √9 + 70/600 = 3 + 7/60 = 3 7/60 

1) Воспользуемся формулой f(x) = f(x0) + (f(x0))\' * Δx.

310 = 343 - 33 = 7^3 + 33.

(x^1/3)\' = 1/3 * (x)^(-2/3).

(310)^1/3 = 7 - 1/3 * (7)^(-2/3) * 33 = 7 - 11/49 ≈ 6,8.

2) 158 = 128 + 30.

((x)^(1/4))\' = 1/4 * x^(-3/4).

(158)^1/4 = 2^(3/2) + 1/4 * 2^ (9/8) * 30 ≈ 3,5.

3) x = 1,14 = 1 + 0,14.

(√(x^2 + 3x + 5))\' = 1/2 * (x^2 + 3x + 5)^(1/2) * (2x + 3).

 √((1,14)^2 + 3 * 1,14 + 5) = √9 + 1/2 * √9 * (2 * 0,14 + 3) = 3 + 1/6 * 3,28 ≈ 4.