Найдите множество значений функции y=6-1/2cos3x

y = 6 - 1/2 cos 3x;Из определения косинуса следует:-1 ≤ cos3x ≤ 1;Умножим все три части двойного неравенства на -1/2;1/2 ≥ -1 / 2 cos 3x ≥ -1/2;Перепишем так:-1/2 ≤ -1 / 2 cos 3x ≤ 1/2;Прибавим к трем частям двойного неравенства 6;6 - 1/2 ≤ 6 - 1/2 сos 3x ≤ 1/2 + 6;11/2 ≤ 6 - 1/2 cos 3x ≤ 13/2;5,5 ≤ 6 - 1/2 cos 3x ≤ 6,5;Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения. В данном случае множество значений функции y = 6 - 1/2 cos 3x есть множество [5,5; 6,5].

  Область определения и множество значений функции cosx

   Областью определения функции cosx является все множество действительных чисел:

      x ∈ R.

   На этом множестве функция может принимать значения только в промежутке [-1; 1]:

      cosx ∈ [-1; 1], или

      -1 ≤ cosx ≤ 1. (1)

  Множество значений исходной функции

      y = 6 - 1/2 * cos(3x).

   Неравенство (1) верно также для аргумента 3x, т. к., по условию задачи, нет никаких ограничений на множество допустимых значений аргумента:

      -1 ≤ cosx(3x) ≤ 1. (2)

   Преобразуем двойное неравенство (2) и приведем к такому виду, чтобы в средней части неравенства была исходная функция. Для этого:

   1. умножим все части неравенства, изменив знак неравенства на противоположный:

      1/2 ≥ -1/2 * cosx(3x) ≥ -1/2, или

      -1/2 ≤ -1/2 * cosx(3x) ≤ 1/2; (3)

   2. прибавим ко всем частям неравенства (3) число 6:

• 6 - 1/2 ≤ 6 - 1/2 * cosx(3x) ≤ 6 + 1/2;
• 5,5 ≤ 6 - 1/2 * cosx(3x) ≤ 6,5;
• 5,5 ≤ y ≤ 6,5. (4)

   Левая и правая части двойного неравенства (4) являются теми крайними значениями, между которыми исходная функция может принимать значения. Следовательно, область допустимых значений функции:

      y ∈ [5,5; 6,5].

   Ответ: [5,5; 6,5].