Найдите производную функции f(x)= корень из ctg*(5X^2-7)

Производную от сложной функции находим исходя из формулы (u(v) )\' = u(v)\' v\', то есть мы находим производные от внутренней функции и производную от внешней функции у нас в уравнении несколько внутренних функций, v1 = 5X^2 - 7, и v2 = ctg * (5X^2 - 7) поэтому:f(x) = √ctg * (5X^2 - 7) = (ctg * (5X^2 - 7) )^1/2, исходя из того что ctg x = - 1 / sin^2 x, имеем:(ctg * (5X^2 - 7) )^1/2 = 1 / 2 * √ctg * (5X^2 - 7) * (- 1 / sin^2 (5X^2 - 7) ) * 10x^2 = - 5x / (- 1 / sin^2 (5X^2 - 7) ) * √ctg * (5X^2 - 7).

Производная сложной функции высчитывается постепенно. Если у = f(g(x)), то производная такой функции равна y`= f`(g(x)) * g`(x).

Нам дана сложная функция f(x)= корень из ctg(5x² - 7), в которой сочетаются несколько сложных функций - квадратный корень, тригонометрическая функция и квадратичная функция.

Производные сложной функции

• Производная тригонометрической функции (ctgU)` = - 1/sin<sup>2</sup>U * U`;
• производная квадратного корня (√U)`= 1/2√U` * (U);
• производная квадратичной функции (ax² + bx + c)\' = 2ax + b.

Так как производная квадратного корня равна (√U)`= 1/2√U` * (U), тогда:

f(x)= корень из ctg(5x² - 7)

f`(x)= 1/(2 * корень из ctg(5x<sup>2</sup> - 7)) * (ctg(5x<sup>2</sup> - 7))`

Найдем производную тригонометрической функции

(ctg(5x² - 7))`= - 1/(sin<sup>2</sup>(5x<sup>2</sup> - 7)) * (5x<sup>2</sup> - 7)`

Найдем производную квадратичной функции

(5x² - 7)` = 10x

В итоге производная данной сложной функции равна

f`(x)= 1/(2 * корень из ctg(5x² - 7)) * (- 1/(sin²(5x² - 7)) * 10х

Преобразуем запись выражения.

f`(x)= - 5х/(корень из ctg(5x² - 7) * sin²(5x² - 7))