Решите уравнение x^5+x^4-x^3-x^2-6x-6=0

Нам нужно решить уравнение, в котором переменная находится в пятой степени x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x – 6 = 0.

Составим алгоритм решения уравнения

• сгруппируем попарно первое со вторым, третье с четвертым и пятое с шестым слагаемые;
• в каждой паре вынесем общий множитель за скобки;
• представим выражение в левой части уравнения в виде произведения;
• перейдем к решению двух уравнений;
• решим каждое из полученных уравнений.

Представим левую часть уравнения в виде произведения

Итак, сгруппируем парами слагаемые в левой части уравнения, получим:

x^5 + x^4 – x^3 – x^2  - 6x – 6 = 0;

(x^5 + x^4) – (x^3 + x^2) – (6x + 6) = 0;

Вынесем из первой скобки x^4, из второй — x^2, из третьей 6.

x^4(x + 1) – x^2(x + 1) – 6(x + 1) = 0.

Представим в виде произведение выражения в левой части уравнения, вынеся за скобки (х + 1):

(х + 1)(x^4 – x^2 – 6) = 0;

Переходим к решению двух уравнений

В правой части уравнения стоит ноль, а в левой произведение двух скобок.

Чтобы найти все решения уравнения, переходим к решению двух уравнений:

1) х + 1 = 0;

х = - 1.

2) x^4 – x^2 – 6 = 0;

Решаем биквадратное уравнение. Введем замену. Пусть x^2 = t, тогда:

t^2 – t – 6 = 0;

Ищем дискриминант для данного уравнения:

D = b^2 – 4ac = (- 1)^2 – 4 * 1 * (- 6) = 1 + 24 = 25.

t1 = (- b + √D)/2a = (1 + 5)/2 * 1 = 6/2 = 3;

t2 = (- b - √D)/2a = (1 – 5)/2 * 1 = - 4/2 = - 2.

Возвращаемся к замене:

1) x^2 = 3;

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

х1 = √3; х2 = - √3.

2) x^2 = - 2 — уравнение не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом.

Ответ: х = - 1; х = √3; х = - √3.

Сгруппируем первое неизвестное со вторым, третье с четвертым и пятое с шестым, вынесем общие множители:x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x - 6 = 0;x^4(x+1) - x^2(x + 1) - 6(x + 1) = 0, вынесем общий множитель х + 1 за скобки:(х + 1) (x^4 - x^2 - 6) = 0;1) х + 1 = 0, х = - 1;2) x^4 - x^2 - 6 = 0 - биквадратное уравнение, сделаем замену: x^2 = t:t^2 - t - 6 = 0;Найдем дискриминант квадратного уравнения:D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * ( - 6) = 1 + 24 = 25;Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:t1 = (1 - √25) / 2 * 1 = (1 - 5) / 2 = - 4 / 2 = - 2;t2 = (1 + √25) / 2 * 1 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3;Обратная замена x^2 = - 2 - нет решений;x^2 = 3, x = √3 ; - √3.Ответ: -1, √3, - √3.