Уравнение |2-3x-x^2|=5a имеет три различных действительных корня. Каково значение а ?

   1. Приведем трехчлен под знаком модуля к стандартному виду, изменив при этом его знак:

      |2 - 3x - x^2| = 5a;

      |x^2 + 3x - 2| = 5a. (1)

   2. Уравнение (1) может иметь решение при неотрицательных значениях параметра \'a\':

      a ≥ 0;

      a ∈ [0; ∞).

   3. При этом условии получим:

      x^2 + 3x - 2 = ±5a;

      x^2 + 3x - (2 ± 5a) = 0.

   4. Вычислим дискриминант уравнения:

      D = 3^2 + 4 * (2 ± 5a);

      D = 17 ± 20a;

      D1 = 17 - 20a;

      x1/2 = (-3 ± √D1) / 2; (2)

      D2 = 17 + 20a;

      x3/4 = (-3 ± √D2) / 2. (3)

   5. Из уравнений (2) и (3) следует, что при различных значениях D1 и D2 корни x1/2 и x3/4 тоже различны. Но поскольку a ≥ 0, то D1 ≤ D2, следовательно, уравнение будет иметь три корня, если меньший дискриминант равен нулю:

      D1 = 0;

      17 - 20a = 0;

      20a = 17;

      a = 17/20 = 0,85.

   Ответ: 0,85.

|2 - 3x - x²| = 5a

Данное уравнение состоит из двух функций у = |2 - 3x - x²| и у = 5а.

Рассмотрим обе функции.

• у = 5а - это линейная функция (5а это какое-то число), то есть прямая, она проходит параллельно оси х, пересекая ось у в точке, равной 5а.
• у = |2 - 3x - x²| квадратичная функция, то есть парабола, ветви вниз (перед х² стоит минус), но не имеющая отрицательных значений у (модуль - это всегда положительное число). Значит, ветви параболы идут из вершины вниз и как только касаются оси х, идут резко вверх (как бы отражаясь от зеркала).
• Так как обе функции приравнены |2 - 3x - x²| = 5a, значит у них есть точки пересечения, имеющие одинаковые координаты х и у (то есть корни уравнения).

По условию, должно быть 3 корня, то есть три точки пересечения прямой у = 5а и параболы у = |2 - 3x - x²|. А это возможно только в одном случае - когда прямая проходит через вершину параболы и пересекает обе ветви параболы.

Координата вершины параболы х₀ вычисляется по формуле х₀ = - в/2а.

у = |2 - 3x - x²|

Поменяем местами одночлены для облегчения расчетов.

у = |- x² - 3x + 2| 

х₀ = 3/(- 2) = - 1,5

Найдем у₀.

у₀ = |- (- 1,5)² - 3 * (- 1,5) + 2| = |- 2,25 + 4,5 + 2| = 4,25

Вершина параболы лежит в точке (- 1,5; 4,25).

прямая у = 5а проходит в точке у = 4,25.

5а = 4,25

а = 0,85

Ответ: Уравнение |2 - 3x - x²| = 5a имеет три корня при а = 0,85.