Найдите значение выражения (sinX:(1+cosx))+ctgx если cosx=0,8; -π:2

Найдем значение выражения (sin X : (1 + cos x)) + ctg x, если cos x = 0,8 - π/2 < x < 0.sin X : (1 + cos x)) + ctg x = sin X : (1 + cos x)) + cos x/sin x = (sin x * sin x + cos x * (1 + cos x))/(sin x * (1 + cos x)) = (sin x * sin x + cos x * 1 + cos x * cos x)/(sin x * (1 + cos x)) = (sin ^ 2 x + cos x + cos ^ 2 x )/(sin x * (1 + cos x)) = ((sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) + cos x )/(sin x * (1 + cos x)) = (1 + cos x )/(sin x * (1 + cos x)) = 1/(sin x * 1) = 1/sin x = 1/(- √(1 - cos ^ 2 x)) = 1/(- √(1 - 0.8 ^ 2)) = - 1/ √(1 - 0.64) = - 1/ √0.36 = - 1/0.6 = - 10/6 = - 5/3;Ответ: - 5/3.

  Вычисление значения функции sinx

   Для одного и того же угла сумма квадратов тригонометрических функций синус и косинус равна единице:

      sin²x + cos²x = 1. (1)

   Тождество (1) позволяет определить значение sinx, если известно значение cosx:

• sin²x + cos²x = 1;
• sin²x = 1 - cos²x;
• sinx = ± √(1 - cos²x).

   Как видно из этого уравнения, каждому значению косинус соответствуют два противоположных значения синус. Конкретное значение зависит от того, в какой четверти находится аргумент этих функций. Поскольку, по условию задачи:

      x ∈ (-π/2; 0),

то x находится в четвертой четверти, а в этой четверти, как известно, синус принимает отрицательные значения. Следовательно:

• sinx = - √(1 - cos²x);
• sinx = - √(1 - (0,8)²);
• sinx = - √(1 - 0,64);
• sinx = - √0,36;
• sinx = - 0,6.

   Вычислим также значение функции ctgx, исходя из значений синуса и косинуса:

      ctgx = cosx / sinx = 0,8 / (- 0,6) = - 8/6 = - 4/3.

  Вычисление значения исходного выражения

   Исходное выражение содержит тригонометрические функции sinx, cosx и ctgx. Значение cosx было дано в условии задачи, а значения sinx и ctgx уже известны. Поэтому, с помощью несложных вычислений, можем  определить его значение:

• 1 + cosx = 1 + 0,8 = 1,8;
• sinx : (1 + cosx) = - 0,6 : 1,8 = - 6/18 = - 1/3;
• sinx : (1 + cosx) + ctgx = - 1/3 - 4/3 = - 5/3.

   Ответ: - 5/3.