6sin^2x+7cosx=1, где корни принадлежат [-п;2п]

6sin²x + 7cosx = 1

1. Преобразуем sin²x в (1 - cos²x).

6(1 - cos²x) + 7cosx = 1

2. Раскроем скобки, единицу перенесем в левую часть.

6 - 6cos²x + 7cosx - 1 = 0

3. Подведем подобные члены.

- 6cos²x + 7cosx + 5 = 0

4. Умножим уравнение на (-1).

6cos²x - 7cosx - 5 = 0

5. Сделаем замену cosx = а. Получается квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта.

6а² - 7а - 5 = 0

D = 49 + 120 = 169 (кв.корень равен 13)

а₁ = (7 + 13)/12 = 20/12 = 5/3

а₂ = (7 - 13)/12 = - 6/10 = - 1/2

6. Возвращаемся к замене cosx = а.

cosx = 5/3 (такого не может быть, косинус всегда больше -1, но меньше 1)

cosx = - 1/2

х₁ = 2П/3 + 2Пn

х₂ = - 2П/3 + 2Пn

7. С помощью единичной окружности находим корни, принадлежащие промежутку [-п; 2п].

2П/3; - 2П/3; 4П/3