Для функции y=3/(2x+3)^4 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку A(-1;1,5)

Первообразная заданной функции будет иметь вид:F = ∫(3/(2x+3)^4) * dx + C, где C - константа.Произведем замену t = 2x + 3, тогда dt = 2 * dx:F = ∫ (3 / 2 * t^4) * dt + C = 3/2 * (-1/4) * t^(-5) + C =(-3/8) * t^(-3) +C.Подставим координаты точки А в уравнение первообразной и найдем С.(-3/8) / (-1)^3 + С = 3/2С = 3/2 - 3/8 = 12/8 -3/8 = 9/8Ответ: F = (-3/8) * t^(-3)+ 9/8.

Нам задана функция уравнением y = 3/(2x + 3)^4 нужно найти первообразную, график которой проходит через точку с координатами А (- 1; 1,5).

Составим план решения задачи

• найдем общий вид первообразной для заданной функции;
• подставляем в первообразную вместо х и у координаты точки А;
• решаем полученное уравнение относительно переменной с;
• записываем первообразную, проходящую через точку А.

Интегрируем функцию у = 3/(2x + 3)^4

Для того, чтобы найти общий вид первообразной заданной функции проинтегрируем функцию.

∫3/(2x + 3)^4dx = 3∫1/(2x + 3)^4dx;

введем замену, пусть u = 2x + 3 и du = 2dx.

3∫1/(2x + 3)^4dx = 3/2∫1/u^4du = - 1/(2u^3) + C.

Возвращаемся к введенной ранее замене.

- 1/(2u^3) + C = - 1/(2(2х + 3)^3) + C.

Найдем значение переменной С

Для того, чтобы найти ту первообразную, график которой проходит через точку А (- 1; 1,5) подставим в первообразную вместо х = - 1 и у = 1,5 и решим полученное уравнение относительно переменной с.

Y(x) = - 1/(2(2х + 3)^3) + C;

1.5 = - 1/(2(2 * (- 1) + 3)^3) + C;

1.5 = - 1/2 + C.

Перенесем в правую часть полученного уравнения слагаемые без переменной, а в левую слагаемые с переменной С.

Когда переносим слагаемые из левой части уравнения в правую или наоборот меняем знак слагаемого на противоположный.

- С = - 1/2 - 1,5;

- С = - 0,5 - 1,5;

- С = - 2;

Избавимся от минуса перед переменной, для этого умножим на - 1 обе части уравнения.

С = 2.

Подставим найденное значение С = 2 в первообразную и получим функцию график которой проходит через точку А(- 1; 1,5).

Y(x) = - 1/(2(2x + 3)^3) + 2.

Ответ: Y(x) = - 1/(2(2x + 3)^3) + 2.