Тригонометрия Упростить выражение: Sin a/1-cos a= 1+cos a/ son a

sin a / ( 1 - cos a ) = ( 1 + cos a) / sin a;Умножим обе части на sin a и разделим на ( 1 + cos a );sin²a / ((1 - cos a )( 1 + cos a)) = 1;Тогда получим равенство:sin² a = (1 - cos a )( 1 + cos a );sin² а = 1 - cos² a;Из основного тригонометрического тождества следует, что:sin² a = sin² a;

Представим угол а как двойной угол (2 * а/2). Тогда для решения данного задания нам потребуются тригонометрические  формулы двойного угла.

Формулы синуса и косинуса двойного угла

• Формула(1) нахождения косинуса двойного угла cos(2α) = 1 − 2sin²(α);
• формула(2) косинуса двойного угла cos(2α) = 2cos²(α) − 1;
• формула (3) косинуса двойного угла cos(2α) = cos²(α) − sin²(α);
• формула нахождения синуса двойного угла sin(2α)= 2sin(α)cos(α).

Преобразуем выражение.

Заменим угол а на двойной угол

sina/(1 - cosa) = (1 + cosa)/sina

sin(2 * a/2)/(1 - cos(2 * a/2)) = (1 + cos(2 * a/2))/sin(2 * a/2)

1. По формуле синуса двойного угла распишем sin(2 * a/2) как 2sin(a/2)cos(а/2).

2sin(a/2)cos(а/2)/(1 - cos(2 * a/2)) = (1 + cos(2 * a/2))/2sin(a/2)cos(а/2)

2. Для того, чтобы выбрать, по какой формуле расписать косинус двойного угла, посмотрим на знаменатель в левой части уравнения. Нам нужно, чтобы ушла единица, поэтому здесь используем формулу (1) двойного угла.

А в числителе дроби, которая находится в правой части уравнения, используем формулу (2), тоже для того, чтобы ушла единица.

2sin(a/2)cos(а/2)/(1 - (1 − 2sin²а/2)) = ((1 + 2cos²а/2) − 1)/2sin(a/2)cos(а/2)

3. Раскроем скобки, единицы сократятся.

2sin(a/2)cos(а/2)/2sin²а/2 = 2cos²а/2/2sin(a/2)cos(а/2)

4. Проведем сокращение. В левой части сократятся 2sin(a/2), а в правой - 2cos(а/2).

cos(а/2)/sin(а/2) = cos(а/2)/sin(a/2)

5. Так как cosa/sina = ctga, то получается:

ctg(a/2) = ctg(a/2) (равенство верное)