В треугольнике АВС АВ=ВС=95, АС=114. Найдите длину медианы ВМ.

Свойства треугольника abc

Изучив условие можно сделать следующие выводы:

• стороны ab и bc равны, следовательно треугольник abc равнобедренный;
• в равнобедренном треугольнике медиана bm одновременно будет и его высотой.
• высота bm перпендикулярна основанию ac и в равнобедренном треугольнике делит его на две равные части: ам = cm = ac / 2 = 114 / 2 = 57.
• высота делит равнобедренный треугольник на два равные прямоугольные треугольники — abm и cbm.

Применение теоремы Пифагора

Нахождение медианы сводится к определению катета bm прямоугольного треугольника abm по известной гипотенузе ab и известному катету am. Если выбрать треугольник cbm, то результат получится тот же, поскольку катет bm общий. В соответствии с теоремой Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: 

ам² + bm² = ab².

Находим квадрат высоты (и медианы) bm:

bm² = ab² - am²;

Находим высоту bm:

bm = √( ab² - am²) = √(95² - 57²) = √(9025 - 3249) = √5776 = 76.

Ответ: Длина медианы треугольника bm = 76.

Треугольник изображен на рисунке http://bit.ly/2kg0fXQ.

В условии АВ = ВС = 95, значит данный треугольник является равнобедренным с основанием АС = 114. Медиана ВМ в равнобедренном треугольнике является еще и высотой, которая делит АС пополам, значит образуется прямоугольный треугольник АВМ, у которого гипотенуза АВ = 95, катет АМ = АС : 2 =114 : 2 = 57. По свойствам прямоугольного треугольника АВ2=ВМ2 + АМ2. Значит ВМ = √(АВ2 - АМ2) = √(9025 - 3249) = 76