В Треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, АС =6 , tg А=корень7/3. Найдите АВ

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему;tg А = √ 7 / 3 = BC / AС;ВС = AC ∙ tg А = 6 ∙ √ 7 / 3 = 2 √ 7 ;Тогда, по теореме Пифагора:АВ = √( ВС² + АС² ) = √ ( 6² + 4 ∙ 7 ) = √ 64 = 8;Ответ: АВ = 8;

По условию задачи дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС и ВС, гипотенузой АВ и прямым углом С:

∠С = 90°;

Обозначим длины катетов через а и b:

a = |BC|;

b = |AC|;

Известно, что:

b = 6;

и тангенс угла А равен:

tg(∠A) = √7/3;

В задаче требуется вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС.

Запись уравнения по условию задачи

Для решения задачи:

• Записываем соотношения между катетами и гипотенузой треугольника АВС;
• Определяем значения тригонометрических величин угла А – sin(∠A) и cos(∠A);
• Подставляем данные задачи и вычисляем длины катетов и гипотенузы.
• Проверяем полученный результат, используя теорему Пифагора.

Воспользуемся далее тем, что косинус угла равен отношению длин прилежащего катета и гипотенузы:

cos(∠А) = |AС| / |АВ| = b / c;

Синус угла равен отношению длин противолежащего катета и гипотенузы:

sin(∠А) = |BС| / |АВ| = a / c;

Соответственно, получаем:

c = b / cos(∠А);

a = c * sin(∠А) = b * sin(∠А) / cos(∠А) = b * tg(∠А);

Далее, воспользуемся тригонометрическим равенством:

cos(∠А) = 1 / √(1 + tg²(∠А));

Получаем:

c = b / cos(∠А) = b * √(1 + tg²(∠А));

Вычисление длины гипотенузы прямоугольного треугольника АВС

Подставляя исходные данные задачи в полученную формулу для гипотенузы, находим:

c = b * √(1 + tg²(∠А)) = 6 * √(1 + (√7/3)²)

с = 6 * 4/3 = 8;

Проверка.

a = b * tg(∠А) = 6 * √7/3 = 2 * √7;

Теорема Пифагора выполняется:

а^2 + b^2 = (2 * √7)^2 + 6^2 = 28 + 36 = 64 = с^2

Ответ: длина гипотенузы равна 8 см.