На параде барабанщики стоят ровным квадратным строем в 50 рядов по 50 барабанщиков. Барабанщики одеты либо в синие, либо

   Два барабанщика увидят друг друга лишь в том случае, когда между ними не будет стоять третий.

   Поскольку барабанщики соседних рядов или колонн видят друг друга, то одновременно, в двух соседних рядах или колоннах не должны стоять барабанщики в синих костюмах. Из этого следует, что количество рядов и количество колонн, в которых могут находиться барабанщики в синей форме, не больше 25, а значит и количество всех барабанщиков в синей форме не больше 25^2 = 625.

   Доказали, что барабанщиков в синей форме не больше 625; но возможно ли такое количество, т. е. 625? Докажем, что возможно.

   Распределим барабанщиков таким образом, чтобы в точках пересечения четных рядов и четных колонн стояли синие барабанщики, а во всех остальных - красные. Если представить группу барабанщиков в виде двумерной матрицы, а каждого из них в виде ее элемента, то получим:

• x[m, n] = синий барабанщик, если m = 2k, n = 2l,
• x[m, n] = красный барабанщик, в противном случае,
• где m, n = 1; 2; ...50;
• где k, l = 1; 2; ...25.

   Покажем, что при таком распределении, барабанщики в синей форме не увидят друг друга, т. е. между двумя любыми синими барабанщиками будет стоять третий.

   Допустим, два барабанщика в синей форме x1 и x2 имеют местоположения:

• m1 = 2k1; n1 = 2l1;
• x1 = x[2k1, 2l1];
• m2 = 2k2; n2 = 2l2;
• x2 = x[2k2, 2l2].

   Тогда для местоположения, соответствующего середине отрезка, соединяющего двух барабанщиков, получим:

• m = (m1 + m2) / 2 = (2k1 + 2k2) / 2 = k1 + k2;
• n = (n1 + n2) / 2 = (2l1 + 2l2) / 2 = l1 + l2.

   Поскольку k и l - натуральные числа от 1 до 25, то при сложении получим натуральные числа от 2 до 50. Следовательно, между двумя синими барабанщиками, ровно в середине, в точке с индексами m и n будет стоять какой-либо барабанщик (не обязательно красный), который и будет препятствовать тому, чтобы они увидели друг друга.

   Ответ: 625.