Почему если все углы треугольника равны, то и стороны равны?

Докажем, что если в треугольнике АВС углы А, В и С равны, то и стороны данного треугольника также равны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой синусов.

Согласно данное теореме для сторон АВ и ВС и углов С и А выполняется следующее равениство:

|АВ| / sin(C) = |ВС| / sin(A).

Согласно условию задачи, ∠С =  ∠А, следовательно, sin(C) = sin(A) и:

|АВ| = sin(C) * |ВС| / sin(A) = |ВС| * (sin(C) / sin(A)) = |ВС|.

Также по теореме синусов:

|АС| / sin(В) = |ВС| / sin(A).

Согласно условию задачи, ∠В =  ∠А, следовательно, sin(В) = sin(A) и:

|АС| = sin(В) * |ВС| / sin(A) = |ВС| * (sin(В) / sin(A)) = |ВС|.

Следовательно, в данном треугольнике |АВ| = |ВС| = |АС|.