Найти производную сложной функции ( ctg4x ) ^ x

Найдём производную данной функции: y = (ctg 4x)^x.

Воспользовавшись формулами:

(ctg x)’ = 1 / (sin^2 (x)) (производная основной элементарной функции).

(a^x)’ = a^x * ln a (производная основной элементарной функции).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

y\' = ((ctg 4x)^x)’ = (4x)’ * (ctg 4x)’ * ((ctg 4x)^x)’ = (4 * 1 * x^(1 – 1)) * (1 / (sin^2 (4x))) * (ctg 4x)^x * ln (ctg 4x) = (4(ctg 4x)^x * ln (ctg 4x)) / (sin^2 (4x)).

Ответ: y\' = (4(ctg 4x)^x * ln (ctg 4x)) / (sin^2 (4x)).