Решить уравнение: (x-1)(x^2+8x+16)=6(x+4)

(x - 1) * (x ^ 2 + 8 * x + 16) = 6 * (x + 4);(x - 1) * (x ^ 2 + 2 * x * 4 + 4 ^ 2) = 6 * (x + 4);(x - 1) * (x + 4) ^ 2 = 6 * (x + 4);(x - 1) * (x + 4) ^ 2 - 6 * (x + 4) = 0;(x + 4) * ((x - 1) * (x + 4) - 6) = 0;1) x + 4 = 0;x = - 4;2) (x - 1) * (x + 4) - 6 = 0;Раскрываем скобки. Для этого каждые значения в первой скобке, умножаем на каждое значение во второй скобке, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:x ^ 2 + 4 * x - x - 4 - 6 = 0;x ^ 2 + 3 * x - 10 = 0;x1 = - 5;x2 = 2;Ответ: х = - 4, х = - 5, х = 2.

Если решать данное уравнение стандартным способом, раскрывая скобки, то видно, что получится уравнение третьей степени. Попробуем решить уравнение другим способом.

Разложим квадратный трехчлен x² + 8x + 16 на множители

Для этого используем формулу ax² + bx + c = а(x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

Находим корни трехчлена x² + 8x + 16 с помощью дискриминанта:

• x² + 8x + 16 = 0.
• a = 1; b = 8; c = 16;
• D = b² - 4ac; D = 8² - 4 * 1 * 16 = 64 - 64 = 0 (один корень).
• x = (-b)/2a;
• х = (-8)/2 = -4.

Следовательно, x² + 8x + 16 = (х + 4)².

Значит, уравнение (x - 1)(x² + 8x + 16) = 6(x + 4) принимает вид (x - 1)(х + 4)² = 6(x + 4).

Перенесем все в левую часть уравнения.

(x - 1)(х + 4)² - 6(x + 4) = 0.

Вынесем общий множитель (х + 4) за скобку:

(x + 4)((x - 1)(х + 4) - 6) = 0.

Решаем получившееся уравнение

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Отсюда х + 4 = 0; х = -4.

Или (x - 1)(х + 4) - 6 = 0.

Раскроем скобки:

х² - х + 4х - 4 - 6 = 0.

х² + 3х - 10 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 3; c = -10;

D = b² - 4ac; D = 3² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49 (√D = 7);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (-3 - 7)/2 = -10/2 = -5.

х₂ = (-3 + 7)/2 = 4/2 = 2.

Ответ: корни уравнения равны -5, -4 и 2.

Выполним проверку:

1) х = -5.

(-5 - 1)((-5)² + 8 * (-5) + 16) = 6(-5 + 4).

-6 * (25 - 40 + 16) = 6 * (-1).

-6 * 1 = 6 * (-1).

-6 = -6 (верно).

2) х = -4.

(-4 - 1)((-4)² + 8 * (-4) + 16) = 6(-4 + 4).

-5 * (16 - 32 + 16) = 6 * 0.

-5 * 0 = 6 * 0.

0 = 0 (верно).

3) х = 2.

(2 - 1)(2² + 8 * 2 + 16) = 6(2 + 4).

1 * (4 + 16 + 16) = 6 * 6.

36 = 36 (верно).