Какая из сле­ду­ю­щих по­сле­до­ва­тель­но­стей яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей? 1) По­сле­до­ва­тель­ность

Для того, чтобы доказать, что некоторая последовательность сn не является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей, достаточно показать, что для первых 3 членов этой последовательности справедливо соотношение c2 - c1 ≠ c3 - c2, поскольку в любой ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­и разности c2 - c1  и c3 - c2 совпадают и равны знаменателю ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­и.

1) Докажем, что по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных сте­пе­ней числа 2 не является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей.

Выпишем первые 3 члена этой последовательности:

с1 = 2¹ = 2;

с2 = 2² = 4;

с3 = 2³ = 8.

Находим c2 - c1 и c3 - c2:

c2 - c1 = 4 - 2 = 2;

c3 - c2 = 8 - 4 = 4.

Поскольку c3 - c2 ≠ c2 - c1, данная последовательность не является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей.

3) Докажем, что по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел аn, крат­ных 5 является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей.

Данную последовательность можно записать в виде аn = 5 * n.

Найдем разность между n+1 членом и n-м членом данной последовательности:

а_n+1 - а_n = 5 * (n+1) - 5 * n = 5 * n + 5 - 5 * n = 5.

Следовательно, а_n+1 = а_n + 5, и, согласно определению, данная по­сле­до­ва­тель­ность является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей со знаменателем 5.

3) Докажем, что по­сле­до­ва­тель­ность кубов на­ту­раль­ных чисел не является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей.

Выпишем первые 3 члена этой последовательности:

с1 = 1³ = 1;

с2 = 2³ = 8;

с3 = 3³ = 27.

Находим c2 - c1 и c3 - c2:

c2 - c1 = 8 - 1 = 7;

c3 - c2 = 27 - 8 = 19.

Поскольку c3 - c2 ≠ c2 - c1, данная последовательность не является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей.

4) Докажем, что по­сле­до­ва­тель­ность всех пра­виль­ных дро­бей, чис­ли­тель ко­то­рых на 1 мень­ше зна­ме­на­те­ля не является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей.

Выпишем первые 3 члена этой последовательности:

с1 = 1/2;

с2 = 2/3;

с3 = 3/4.

Находим c2 - c1 и c3 - c2:

c2 - c1 = 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6 = 1/6;

c3 - c2 = 3/4 - 2/3 = 9/12 - 8/12 = 1/12.

Поскольку c3 - c2 ≠ c2 - c1, данная последовательность не является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей.