ΔABC – прямоугольный ( угол B = 90 ). Из основания H высоты BH опущены перпендикуляры HK и HM на катеты AB и BC соответственно.

Так как ВН то высота АВС, то ВН перпендикулярна АС, а следовательно и к HN.Так как KL это высота, проведенная к ВН, то BH перпендикулярна к KL.Следовательно, стороны KL и HN параллельны.Так как перпендикуляр HK перпендикулярен АВ, то HK параллелен ВС.Докажем, что LKHN является параллелограммом.Рассмотрим для этого два прямоугольных треугольника LKB и NHM.Стороны BK и НМ параллельны и равны (так как BKHM прямоугольник), стороны BL || MN, стороны KL || HN как выяснили выше.Значит, треугольники LKB и NHM равны и, значит, KL = HN.Тогда, KH = LN и LKHN является параллелограммом.Значит, KH и LN параллельны.Но, так как KH || BC, то LN || BC, а следовательно прямые HM и LN перпендикулярны, так как НМ высота, проведенная к ВС.Что и требовалось доказать.