X^2+2x+1 / x^2+2x+2 + x^2+2x+2 / x^2+2x+3 = 7/6

(х² + 2x + 1) / (x² + 2x + 2) + (x² + 2x + 2) / (x² + 2x + 3) = 7/6.

ОДЗ:

x² + 2x + 2 ≠ 0,

x² + 2x + 3 ≠ 0.

x² + 2x + 2 = 0:

D < 0, корней нет.

x² + 2x + 3 = 0:

D < 0, корней нет.

ОДЗ: вся числовая ось.

Перенесем все в левую часть:

(х² + 2x + 1) / (x² + 2x + 2) + (x² + 2x + 2) / (x² + 2x + 3) - 7/6 = 0.

Для удобства произведем замену переменных: у = х² + 2х, получим:

(у + 1) / (у + 2) + (у + 2) / (у + 3) - 7/6 = 0.

Упростим левую часть:

приведем к общему знаменателю: 6 (у + 2) (у + 3):

(6 (у + 1) (у + 3) + 6 (у + 2)² – 7 (у + 2) (у + 3)) / 6 (у + 2) (у + 3).

Упростим числитель дроби:

6 (у + 1) (у + 3) + 6 (у + 2)² – 7 (у + 2) (у + 3) = 6 (у² + 4у + 3) + 6 (у² + 4у + 4) – 7(у² + 5у + 6) = 6у² + 24у + 18 + 6у² + 24у + 24 – 7у² - 35у - 42 = 5у² + 13у.

Получим уравнение:

(5у² + 13у) / 6 (у + 2) (у + 3) = 0.

5у² + 13у = 0,

у (5у + 13) = 0,

у₁ = 0,

у₂ = -13/5 = -2,6.

Возвратимся к исходным переменным:

х² + 2х = 0,

х² + 2х = -2,6.

Решим первое уравнение:

х² + 2х = 0,

х (х + 2) = 0,

х₁ = 0,

х₂ = -2.

Решим второе уравнение:

х² + 2х = -2,6,

умножим на 5 обе части уравнения:

5х² + 10х = -13,

5х² + 10х + 13 = 0,

D = 100 – 4 * 5 * 13 = -160.

D < 0, корней нет.

Ответ: 0; -2.