1 / 1-tg a/2 - 1 / 1+tg a/2

1. Воспользуемся формулой tga = sina/cosa.

2. 1/(1 - tg(a/2) ) - 1/(1 + tg(a/2) ) =

= 1/(1 - sin(a/2)/cos(a/2) ) - 1/(1 + sin(a/2)/cos(a/2) );

3. Приведем выражения в скобках к общему знаменателю.

1/(1 - sin(a/2)/cos(a/2) ) - 1/(1 + sin(a/2)/cos(a/2) ) =

= 1/( (cos(a/2) - sin(a/2) )/cos(a/2) ) - 1/( (cos(a/2) + sin(a/2) )/cos(a/2) );

4. Перенесем cos(a/2) в числитель каждого дроби.

1/( (cos(a/2) - sin(a/2) )/cos(a/2) ) - 1/( (cos(a/2) + sin(a/2) )/cos(a/2) ) =

= cos(a/2)/( (cos(a/2) - sin(a/2) ) ) - cos(a/2)/( (cos(a/2) + sin(a/2) )

5. Приведем выражение к общему знаменателю.

cos(a/2)/(cos(a/2) - sin(a/2) ) - cos(a/2)/(cos(a/2) + sin(a/2) ) =

= cos(a/2) * (cos(a/2) + sin(a/2)/( (cos(a/2) - sin(a/2) ) * (cos(a/2) + sin(a/2) ) - cos(a/2) * (cos(a/2) - sin(a/2)/( (cos(a/2) - sin(a/2) ) * (cos(a/2) + sin(a/2) ) =

= (cos2(a/2) + sin(a/2) * (cos(a/2) )/( (cos(a/2) - sin(a/2) ) * (cos(a/2) + sin(a/2) ) - (cos2(a/2) - sin(a/2) * (cos(a/2) )/( (cos(a/2) - sin(a/2) ) * (cos(a/2) + sin(a/2) ) =

= [cos2(a/2) + sin(a/2) * cos(a/2) - cos2(a/2) + sin(a/2) * cos(a/2) ]/[ (cos(a/2) - sin(a/2) ) * (cos(a/2) + sin(a/2) ] =

= 2 * sin(a/2) * cos(a/2)/[ (cos(a/2) - sin(a/2) ) * (cos(a/2) + sin(a/2) ];

6. В знаменателе применим формулу разности квадратов.

2 * sin(a/2) * cos(a/2)/[ (cos(a/2) - sin(a/2) ) * (cos(a/2) + sin(a/2) ] =

= 2 * sin(a/2) * cos(a/2)/(cos2(a/2) - sin2(a/2) )

7. Выразим в знаменателе sin через cos.

2 * sin(a/2) * cos(a/2)/(cos2(a/2) - sin2(a/2) ) =

= 2 * sin(a/2) * cos(a/2)/[cos2(a/2) - (1 - cos2(a/2) ) ] =

= 2 * sin(a/2) * cos(a/2)/(2 * cos2(a/2) - 1);

8. В числителе применим формулу двойного угла, а в знаменателе половинного.

2 * sin(a/2) * cos(a/2)/(2 * cos2(a/2) - 1) =

= sina/(2 * (1+cosa)/2 -1) =

= sina/cosa =

= tga

Ответ: tga.