Как вычислить предел последовательности lim (1/3*5+1/5*7+...+1/(2*n+1)*(2*n+3)) при n стремится к бесконечности

Для нахождения предела данной последовательности, вычислим сумму: 

1/3*5 + 1/5*7 + ... + 1/(2 * n + 1)*(2 * n + 3).

Воспользуемся тем, что для любого число n справедливо следующее соотношение:

1/(4 * n + 2) - 1/(4 * n + 6) = (4 * n + 6)/(4 * n + 2)*(4 * n + 6) - (4 * n + 2)/(4 * n + 2)*(4 * n + 6) = 4/(4 * n + 4)*(4 * n + 6) = 1/(2 * n + 1)*(2 * n + 3).

Используя данное соотношение, можем записать: 

1/3*5 + 1/5*7 + ... + 1/(2 * n + 1)*(2 * n + 3) = 1/6 - 1/10 + 1/10 - 1/14 + ...  + 1/(4 * n - 2) - 1/(4 * n + 2) + 1/(4 * n + 2) - 1/(4 * n + 6) = 1/6 - 1/(4 * n + 6).

Следовательно:

lim_n→∞(1/6 - 1/(4 * n + 6)) = lim_n→∞(1/6) -  lim_n→∞(1/(4 * n + 6)) = 1/6 - 0 = 1/6.

Ответ: lim_n→∞(1/3*5 + 1/5*7 + ... + 1/(2 * n + 1)*(2 * n + 3)) = 1/6.