Найдите сумму корней(корень,если он единственный) уравнения |x-5|*(|+1|+|x-4|)=5*(x-5)

Вычислим значение х, где модули меняют знаки:

I модуль: х - 5 = 0; х = 5.

II модуль: х + 1 = 0; х = -1.

III модуль: х - 4 = 0; х = 4.

Получаются промежутки (-∞; -1), (-1; 4), (4; 5) и (5; +∞).

1) (-∞; -1) раскрываем все модули со знаком (-).

(5 - х) * ((-х - 1) + (4 - х)) = 5(x - 5).

(5 - х)(3 - 2х) = 5х - 25;

15 - 3х - 10х + 2х² - 5х + 25 = 0;

2х² - 18х + 40 = 0;

х² - 9х + 20 = 0.

D = 81 - 80 = 1 (√D = 1);

х₁ = (9 - 1)/2 = 4 (не входит в промежуток).

х₂ = (9 + 1)/2 = 5 (не входит в промежуток).

2) (-1; 4) I и III модуль раскрываем со знаком (-), а II - со знаком (+).

(5 - х) * ((х + 1) + (4 - х)) = 5(x - 5).

(5 - х) * 5 = 5х - 25;

25 - 5х = 5х - 25;

-5х - 5х = -25 - 25;

-10х = -50;

х = -50/(-10) = 5 (не входит в промежуток).

3) (4; 5) I модуль раскрываем со знаком (-), а II и III - со знаком (+).

(5 - х) * ((х + 1) + (х - 4)) = 5(x - 5).

(5 - х)(2х - 3) = 5х - 25;

10х - 2х² - 15 + 3х - 5х + 25 = 0;

-2х² + 8х + 10 = 0 (делим на -2).

х² - 4х - 5 = 0.

D = 16 + 20 = 36 (√D = 6);

х₁ = (4 - 6)/2 = -1 (не входит в промежуток).

х₂ = (4 + 6)/2 = 5 (не входит в промежуток).

4) (5; +∞) все модули раскрываем со знаком (+).

(х - 5) * ((х + 1) + (х - 4)) = 5(x - 5).

(х - 5)(2х - 3) = 5х - 25;

2х² - 10х - 3х + 15 - 5х + 25 = 0;

2х² - 18х + 40 = 0;

х² - 9х + 20 = 0.

D = 81 - 80 = 1 (√D = 1);

х₁ = (9 - 1)/2 = 4 (не входит в промежуток).

х₂ = (9 + 1)/2 = 5 (не входит в промежуток).

Ответ: корней нет.