Найти корни уравнения.x^4+12x^3+2x^2-12x+1=0

Сгруппируем первое, третье и пятое слагаемые, и сгруппируем второе и четвертое слагаемые.

(х^4 - 2х^2 + 1) + (12х^3 - 12х) = 0.

1) Выражение в первой скобке разложим на множители по формуле ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где х1 и х2 корни квадратного трехчлена.

х^4 - 2х^2 + 1 = 0.

Введём новую переменную х^2 = у.

у^2 - 2у + 1 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 1 = 0.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.

х = -b/(2a);

y1,2 = 2/2 = 1;

у^2 - 2у + 1 = (у - 1)^2.

Выполним обратную подстановку х^4 - 2х^2 + 1 = (х^2 - 1)^2.

2) Из второй скобки вынесем общий множитель 12х.

(х^2 - 1)^2 + 12х(х^2 - 1) = 0.

Вынесем за скобку общий множитель (х^2 - 1).

(х^2 - 1)(х^2 - 1 + 12х) = 0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю.

1) х^2 - 1 = 0;

х^2 = 1;

х1 = 1; х2 = -1.

2) х^2 + 12х - 1 = 0;

D = 12^2 - 4 * 1 * (-1) = 144 + 4 = 148; √D = √148 = 2√37;

x3,4 = (-12 ± 2√37)/2 = -6 ± √37.

Ответ. 1; -1; -6 + √36; -6 - √37.