докажите что значение выражения х^2+2y^2+2xy+6y+10 положительно при любых значениях переменных х и у

х² + 2у² + 2ху + 6у + 10 > 0.

Рассмотрим левую часть неравенства:

сгруппируем слагаемые

х² + 2у² + 2ху + 6у + 10 = (х² + 2ху + у²) + (у² + 6у + 10) = (х + у)² + (у² + 6у + 10).

(х + у)² > 0,  при всех х кроме у = -х.

у² + 6у + 10 > 0, т.к. D = 36 – 4 * 10 = -4 < 0.

Тогда:

(х + у)² + (у² + 6у + 10) > 0 при всех х и у, т.к. одно слагаемое неотрицательное, а второе – положительное.

х² + 2у² + 2ху + 6у + 10 > 0 при всех х и у.