Найдите: (2sin^2 a- sin a* cos a+5cos^2 a)/3sin^2 a+cos^2 a , если ctg=2

   1. Отношение тригонометрических функций косинус и синус для одного и того же угла называется котангенс и обозначается ctgx:

      ctgx = cosx/sinx.

   2. Функция ctgx определена при тех значениях аргумента, для которых синус не равен нулю:

• sinx ≠ 0;
• x ≠ πk, k ∈ Z;
• D(f) = (πk, π + πk), k ∈ Z.

   3. Область значений функции - все множество действительных чисел: E(f) = R.

   4. На промежутке (0; π) функция монотонно убывает и охватывает всю область своих значений: (-∞; ∞), в связи с чем при определении обратной ей тригонометрической функции выделяется интервал (0; π):

      arcctgx ∈ (0, π).

   1. Во избежание длинных преобразований обозначим тригонометрическое выражение через X:

      X = (2sin^2(a) - sina * cosa + 5cos^2(a))/(3sin^2(a) + cos^2(a)).

   2. Поскольку в числителе и знаменателе дроби все одночлены имеют вторую степень по отношению к sina и cosa, то, разделив числитель и знаменатель дроби на sin^2(a), получим дробь, содержащую только тригонометрическую функцию ctga:

• X = {(2sin^2(a) - sina * cosa + 5cos^2(a))/sin^2(a)}/{(3sin^2(a) + cos^2(a))/sin^2(a)};
• X = {2sin^2(a)/sin^2(a) - sina * cosa/sin^2(a) + 5cos^2(a)/sin^2(a)}/{3sin^2(a)/sin^2(a) + cos^2(a)/sin^2(a)};
• X = (2 - ctga + 5ctg^2(a))/(3 + ctg^2(a)). (1)

   3. Подставим значение ctga = 2 в уравнение (1) и вычислим значение дроби:

• X = (2 - 2 + 5 * 2^2)/(3 + 2^2);
• X = (5 * 4)/(3 + 4);
• X = 20/7.

   Ответ: 20/7.

   1. Обозначим данное выражение Z и преобразуем его:

      Z = (2sin^2(a) - sina * cosa + 5cos^2(a))/(3sin^2(a) + cos^2(a)).

   2. Разделим числитель и знаменатель дроби на sin^2(a):

      Z = (2sin^2(a)/sin^2(a) - sina * cosa/sin^2(a) + 5cos^2(a)/sin^2(a))/(3sin^2(a)/sin^2(a) + cos^2(a)/sin^2(a));

      Z = (2 - ctga + 5ctg^2(a))/(3 + ctg^2(a)).

   3. Подставим значение ctga в полученное выражение и вычислим его значение:

      Z = (2 - 2 + 5 * 2^2)/(3 + 2^2);

      Z = (5 * 4)/(3 + 4);

      Z = 20/7.

   Ответ: 20/7.