Решите систему уравнений (x^2–x)(y^2–y)=72 (x+1)(y+1)=20 Сколько получилось решений таких,что x и y –рациональные числа?

(x² – x)(y² – y) = 72; (x + 1)(y + 1) = 20.

1) Преобразуем первое уравнение, вынесем х и у за скобку:

ху(х - 1)(у - 1) = 72;

ху(ху - у - х + 1) = 72;

ху(ху  + 1 - (х + у)) = 72.

2) Преобразуем второе уравнение:

ху + у + х + 1 = 20;

ху + (х + у) + 1 = 20;

ху + (х + у) = 19.

3) Введем новые переменные, пусть ху = а, (х + у) = в.

Система имеет вид: а(а + 1 - в) = 72; а + в = 19.

Выразим в из второго уравнения и подставим в первое:

в = 19 - а.

а(а + 1 - 19 + а) = 72;

а(2а - 18) = 72;

2а² - 18a - 72 = 0; делим на 2:

а² - 9a - 36 = 0.

D = 81 + 144 = 225 (√D = 15);

а₁ = (9 - 15)/2 = -6/2 = -3.

а₂ = (9 + 15)/2 = 24/2 = 12.

Вычислим значение в:

а₁ = -3; в₁ = 19 - (-3) = 19 + 3 = 22.

а₂ = 12; в₂ = 19 - 12 = 7.

4) Возвращаемся к замене ху = а, (х + у) = в.

Получается две системы: ху = -3; х + у = 22 (а) и ху = 12; х + у = 7 (б).

а) ху = -3; х + у = 22.

Выразим у из второго уравнения и подставим в первое:

у = 22 - х.

х(22 - х) = -3.

-х² + 22х + 3 = 0.

х² - 22х - 3 = 0.

D = 484 + 12 = 496 (√D = √496 = √(16 * 31) = 4√31.

х₁ = (22 - 4√31)/2 = 11 - 2√31. Тогда у₁ = 22 - 11 + 2√31 = 11 + 2√31.

х₂ = (22 + 4√31)/2 = 11 + 2√31. Тогда у₂ = 22 - 11 - 2√31 = 11 - 2√31.

Решение: (11 - 2√31; 11 + 2√31) и (11 + 2√31; 11 - 2√31). Корни иррациональные.

б) ху = 12; х + у = 7.

у = 7 - х.

х(7 - х) = 12;

-х² + 7х - 12 = 0.

х² - 7х + 12 = 0.

D = 49 - 48 = 1 (√D = 1);

х₁ = (7 - 1)/2 = 6/2 = 3. Тогда у₁ = 7 - 3 = 4.

х₂ = (7 + 1)/2 = 8/2 = 4. Тогда у₂ = 7 - 4 = 3.

Решение: (3; 4) и (4; 3). Корни рациональные.

Ответ: два решения, чтобы корни были рациональными числами.