Решите неравенство f(IxI) меньше или равен 0, если известно, что f(x)=(√3+√6 - 3x):(x^6 - 9x^3+8).

Если f(x) = (√3 + √6 - 3x)/(x^6 - 9x^3 + 8), то f(|x|) = (√3 + √6 - 3|x|)/(|x|^6 - 9|x|^3 + 8).

Так как f(|x|) <= 0, то получается неравенство (√3 + √6 - 3|x|)/(|x|^6 - 9|x|^3 + 8) <= 0.

Модуль меняет знак при х = 0.

1) х > 0, раскрываем модули со знаком (+):

(√3 + √6 - 3x)/(x^6 - 9x^3 + 8) <= 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Находим корни неравенства:

√3 + √6 - 3x = 0; 3х = √3 + √6; х₁ = (√3 + √6)/3 (~1,1).

x^6 - 9x^3 + 8 = 0. Пусть x^3 = а. Получается уравнение а^2 - 9а + 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = -9; c = 8;

D = b^2 - 4ac; D = (-9)^2 - 4 * 1 * 8 = 81 - 32 = 49 (√D = 7);

x = (-b ± √D)/2a;

а₁ = (9 - 7)/2 = 1;

а₂ = (9 + 7)/2 = 8.

Так как x^3 = а, то x^3 = 1; х₂ = 1;

и x^3 = 8; х₃ = 2.

Ставим точки на прямой, обозначаем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала: (-) 1 (+) (√3 + √6)/3 (-) 2 (+).

Так как знак неравенства <= 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; 1] и [(√3 + √6)/3; 2].

2) х < 0, раскрываем модули со знаком (-).

(√3 + √6 + 3x)/(x^6 + 9x^3 + 8) <= 0.

Находим корни неравенства:

√3 + √6 + 3x = 0; х₁ = -(√3 + √6)/3.

x^6 + 9x^3 + 8 = 0; пусть x^3 = а, а^2 + 9 + 8 = 0.

D = 9^2 - 4 * 8 = 81 - 32 = 49 (√D = 7);

а₁ = (-9 - 7)/2 = -8;

а₂ = (-9 + 7)/2 = -1.

Так как x^3 = а, то x^3 = -8; х₂ = -2;

и x^3 = -1; х₃ = -1.

Ставим точки на прямой, обозначаем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала: (-) -2 (+) -(√3 + √6)/3 (-) -1 (+).

Так как знак неравенства <= 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; -2] и [-(√3 + √6)/3; -1].

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; -2], [-(√3 + √6)/3; -1], (-∞; 1] и [(√3 + √6)/3; 2].